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As soluções dos problemas 376 a 380 serão corrigidas apenas se enviadas até 30 de junho de 2015.

376

Sejam a, b e c três números reais, com a diferente de c. Resolva as seguintes equações

x⁴ + ax³ + bx² + cx + 1 = 0 e
x⁴ + cx³ + bx² + ax + 1 = 0,

sabendo que elas têm duas raízes reais em comum.

377

Sabendo que a, b e c são números reais tais que:

prove que um desses números é igual a 1.

378

Em qualquer hora, entre 0 hora e 12 horas, uma pessoa entra numa sala e olha para um relógio. Qual a probabilidade de o ponteiro dos segundos estar entre o ponteiro das horas e o ponteiro dos minutos?

379

Dados a, b e c números reais positivos, prove que

max{a² – b, b²– c , c²– a} ≥
max{a²– a, b²– b , c²– c},

sendo max{x, y, z} = maior dos números x, y, z.

380

Suponha que as medianas BM e CN de um triângulo ABC cortam-se em um ponto P tal que o quadrilátero AMPN seja circunscritível. Mostre que o triângulo ABC é isósceles.

PROBLEMINHAS

(Probleminhas tirados do Banco de Questões 2014 da OBMEP)

Respostas: Painéis

SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS PROPOSTOS NA RPM 84

366

Dada uma pirâmide triangular, traçar uma seção plana de modo que ela seja um losango. Determinar o lado do losango em termos das arestas da pirâmide.

SOLUÇÃO

Sendo PQ = kAC, temos

BQ = kBC e QC = (1 – k)BC.

Logo, QR = (1 – k)BD e RS = kAC.

Como PQ // SR e PQ = SR, temos que PQRS é um paralelogramo.

Para que QR = (1 – k)BD = PQ = kAC , temos que ter

BD = k(AC + BD) e então

Isso mostra que PQRS será um losango se escolhermos P em AB de modo que

(Observe que tal ponto P pode ser construído com régua e compasso.)

E, nesse caso, o lado do losango é

(adaptada da solução enviada por
Antonio V. Martins, SC)

367

Um conjunto finito S de números naturais é chamado egoísta, se o seu tamanho pertence a S. Por exemplo, S = {2, 3} é egoísta pois seu tamanho é 2 e 2 pertence a S. Qual a quantidade total de subconjuntos egoístas do conjunto {1, 2, 3, .., 2013, 2014}?

SOLUÇÃO

O subconjunto vazio não é egoísta, pois seu tamanho é zero e zero não pertence ao conjunto vazio.

O único subconjunto egoísta com um elemento é {1}. Logo, o número de subconjuntos egoístas com um elemento é

Um subconjunto egoísta com 2 elementos deve ter o 2 como elemento; logo, o outro elemento pode ser qualquer um dos 2013 elementos restantes. Ou seja, o número de subconjuntos egoístas com 2 elementos é

Um subconjunto egoísta com 3 elementos deve ter o 3 como elemento; logo, os outros dois elementos podem ser escolhidos de maneiras.

E assim, sucessivamente, com 2013 elementos, temos subconjuntos egoístas e, com 2014 elementos, teremos somente conjunto egoísta.

Concluímos que o número total de subconjuntos egoístas do conjunto {1, 2, 3, .., 2013, 2014} é

(solução enviada por
vários leitores.)

368

Mostre que 1¹⁰ + 2¹⁰ + 3¹⁰ + 4¹⁰ + ... +100¹⁰ é divisível por 101.

SOLUÇÃO

Vamos apresentar três soluções para este problema.

SOLUÇÃO 1

Para cada natural n ≥ 1, vale *:

e 101 é um número primo. Logo, para n = 100, a soma acima é divisível por 101.

* Nota sobre uma fórmula de recorrência para calcular soma de potências de números naturais

Observemos que, para p > 1 e n ≥ 1, podemos escrever:

Aplicando a fórmula do binômio de Newton em (k + 1)^p, obtemos:

Daí segue a fórmula de recorrência

que permite calcular a soma alculando antes as somas

Desse modo, obtém-se, por exemplo, as seguintes somas:

E, finalmente, a expressão para a soma que usamos na solução do problema para
n = 100.

SOLUÇÃO 2

Como o fator do somatório é um número inteiro, concluímos que 101 divide 1¹⁰ + 2¹⁰ + 3¹⁰ + 4¹⁰ + ... +100¹⁰.

(solução enviada por
Chico de Souza, SP, e David Pinto Martins, BA.)

SOLUÇÃO 3 (Usando congruência)

Seja S = 1¹⁰ + 2¹⁰ + 3¹⁰ + 4¹⁰ + ... +100¹⁰ ou
S = 100¹⁰ + 99¹⁰ + ... + 3¹⁰ + 2¹⁰ + 1¹⁰.

Somando -se as duas igualdades, obtemos:

2S = (1¹⁰+ 100¹⁰) + (2¹⁰ + 99¹⁰) + (3¹⁰+ 98¹⁰) +
+ ... + (98¹⁰ + 3¹⁰) + (99¹⁰ + 2¹⁰) + 100¹⁰ + ¹⁰).

Aplicando-se o conceito de congruência, percebemos que:

e assim sucessivamente, daí

ou seja, o que significa que 101 divide S.

(solução enviada por
Amaro José de Oliveira Filho, PE.)

369

Dados um triângulo ABC e uma reta r, como na figura, construir, com régua e compasso, um triângulo com um vértice em A e os outros dois vértices na reta r, com mesma área do triângulo ABC.

SOLUÇÃO

Trace por C a paralela a AB que encontra r em C '. Trace por B a paralela a AC ' que encontra r em B'. Os triângulos ABC, ABC ' e AB'C' têm mesma área, pois os dois primeiros têm a mesma altura relativa ao lado AB e os dois últimos têm mesma altura relativa ao lado AC'.

Logo, o triângulo procurado é AB'C '.

370

No plano cartesiano, pintamos de azul todos os pontos da forma (3x + 2y, 5x – y) com x e y números inteiros. Os demais pontos são pintados de vermelho. Escolhendo-se aleatoriamente um ponto (a, b), com coordenadas inteiras, qual é a probabilidade de que ele seja azul?

SOLUÇÃO

Um ponto (a, b) com coordenadas inteiras tem

a = 3x + 2y (1)
b = 5x – y (2).

Multiplicando (2) por 2 e somando com (1), obtemos:

Multiplicando (1) por 5 e (2) por – 3, obtemos: 5a = 15x + 10y e – 3b = – 15x + 3y; somando-se essas igualdades, vem 5a – 3b = 13y, ou

Analisando (3), supondo que fixemos um valor a₁ para a, tomemos dois valores diferentes de b, b' e b'', dependendo de dois valores diferentes de x, digamos x' e x'':

Então,

Ou seja, b' – b'' = 13k, k inteiro. Logo, para cada valor dado para a, temos apenas um valor de b, de 13 em 13 inteiros, que satisfaz a condição para (a, b) ser pintado de azul.

A análise da igualdade (4) leva ao mesmo resultado.

Portanto, a probabilidade de que um ponto (a, b) seja azul é 1/13.

(solução adaptada da enviada por
Francisco Blasi Jr., SP.)