Esta é uma curiosidade que me ocorreu enquanto recordava, numa 6^a. série, a adição de números relativos.

Ao invés de apresentar os exercícios na maneira usual, pedi aos alunos que completassem uma tabela de dupla entrada:

                       apresentação                                                             solução

Achei conveniente que os alunos também efetuassem a adição de vários números relativos.

Os alunos gostaram da apresentação da tabela na forma abaixo:

Observei ainda o seguinte fato: se a soma de todos os números dados inicialmente for 0 e a tabela for quadrada, o número no canto inferior direito será 0.

Mostrei estas tabelas ao meu colega Murilo Edeval Droppa e, junto, colocando as letras a₁,a₂,..., a_k na primeira coluna e b₁, b₂, ..., b_n na primeira linha da tabela, demonstramos que a soma S do canto inferior direito é

S = (n + 1)(a₁ + a₂ + ... + a_k) + (k + 1)(b₁ + b₂ + ... + b_n)

quer ela seja obtida a partir dos elementos da última linha ou da última coluna.

Aspectos positivos desta atividade:

1. Os alunos exercitam somar números inteiros, consumindo pouco espaço no caderno.

2. Os alunos exercitam o uso de tabelas de dupla entrada.

3. Por se tratar de uma novidade, a apresentação é atraente.

4. É fácil perceber se algum erro foi cometido: será certamente o caso se as somas ao longo da última linha e da última coluna “não baterem”.

No interessante livro: “Número, a linguagem da ciência”, de Tobias Dantzig, da Editora Zahar, o autor nos conta um pouco da história dos números. No capítulo I, sugestivamente intitulado “Impressões Digitais”, ele chama a nossa atenção pra a enorme importância que nossas mãos tiveram no desenvolvimento da contagem. À página 23 o autor descreve um curioso processo para fazer multiplicações usando os dedos das mãos. Tal processo era usado por camponeses de uma região da França.

Aqui vamos detalhar um pouco mais a descrição do autor.

Os camponeses citados conheciam a tabuada até a do 5 e usavam as mãos para multiplicar números entre 5 e 10. Vejamos um exemplo: 7 x 9.

1) Numa das mãos, abaixam-se tantos dedos quantas unidades o 7 passa de 5;

2) Na outra mão, abaixam-se tantos dedos quantas unidades o 9 passa de 5; portanto abaixam-se 4 dedos.

3) Os dedos abaixados devem ser somados e representam dezenas. Assim, no nosso exemplo, temos 2 + 4 = 6 dezenas, isto é, 60 unidades.

4) Os dedos que estão em pé devem ser multiplicados e representam unidades. No nosso caso temos 1 x 3 = 3 unidades.

5) Agora somamos: 60 + 3 = 63. Olhe só 7 x 9 = 63!

 Se você gostou da brincadeira faça agora 7 x 8, 8 x 9, 6 x 9 etc.

 Verifique que o processo também vale para os fatores 5 e 10, que são os extremos do intervalo em que o processo pode ser usado.

Agora uma pergunta: como demonstrar que o processo vale sempre, desde que os fatores estejam entre 5 e 10?

Vamos fazer esta prova. Ela é bastante simples.

Consideremos o produto dos inteiros m e n com 5  m, n  10.

Observe o esquema:  

Os dedos abaixados são somados: (m – 5) + (n – 5) = m + n – 10;  eles representam dezenas: 10(m + n – 10)                                                                                      (1)

Os dedos em pé são multiplicados: (10 – m) ^. (10 – n)                            (2)

Agora somamos (1) com (2) e obtemos mn.

No livro citado, Tobias Dantzig afirma que artifícios semelhantes foram encontrados em vários lugares, distantes uns dos outros. Estas idéias ilustram a importância que nossas mãos tiveram no desenvolvimento da contagem.

N.R. 1: Os camponeses, de fato, usavam a identidade

(5 +x)(5 + y) = 10x + 10y + (5 – x)(5 – y),

com 0  x, y  5 pois, conhecendo a tabuada até a do 5, sabiam o valor de (5 – x)(5 – y) e a identidade lhes permitia então calcular o produto (5 + x)(5 + y) de números entre 5 e 10.  

N.R. 2: A RPM recebeu outro artigo sobre o mesmo assunto escrito por Revair Altair Benati, de São José do Rio Preto, SP.