Luiz Márcio Imenes
Externato Elvira Brandão
São Paulo, SP

Conheci a Gladys, que também é professora, num curso promovido pela PUC de Porto Alegre. Por duas razões, lembro-me bem de um dia em que fui à sua casa. A companhia de sua família e o almoço estavam uma delícia. Além disso, ela me propôs um interessante problema.

Sua amiga Irene estava vendendo alguns objetos que ela mesma decorava. Eram peças para o enxoval de bebês. Ela forrava e enfeitava latas de talco, vidros para cotonete, berços etc. O problema surgiu quando quis revestir um cesto com a forma e as dimensões (em centímetros) indicados na figura.

Como fazer o molde para cortar o pano, de modo a revestir sua superfície lateral?

Vamos resolver o problema.

O cesto tem a forma de um tronco de cone de bases paralelas.

A planificação da superfície lateral de um cone circular reto é um setor circular, cujo raio é a geratriz do cone e a planificação da superfície lateral do tronco de cone é um setor (pedaço) de coroa circular.

Este setor dará a forma do molde. Para desenhá-lo precisamos conhecer os raio G e g e o ângulo central a.

Os triângulos indicados na figura são semelhantes, portanto  

. Como 2R = 16,5 e 2r = 13,5 resulta`  . Mas G  -  g  = 14,5  donde

Fernando foi meu aluno em 1973. Encontramo-nos outro dia, no casamento de um amigo comum. Falávamos da vida quando ele me contou esta história.

Na época em que montava seu apartamento, ele decidiu comprar uma mesa de tampo redondo. A que havia na loja era muito grande, mas o vendedor lhe informou que no depósito havia outra com 1,10 m de diâmetro. Com receio de que esta, por sua vez, fosse pequena demais, ele pensou em fazer alguns cálculos. Será que na volta desta mesa caberiam, pelo menos, umas 6 pessoas?

Lembrou-se que na fórmula a ser usada aparecia o número p multiplicado pelo raio do círculo, mas não sabia se era 3r,  2r ou 4r. Foi então que lhe ocorreu uma idéia. O quadrado circunscrito ao círculo de raio r tem lado 2r e perímetro 8r. No caso do círculo de 1,10 m de diâmetro este perímetro é igual a 4,40 m.

O lado do quadrado inscrito no círculo ele calculou com o teorema de Pitágoras (que não havia esquecido).

  .

Portanto, o perímetro do quadrado inscrito é igual a

A seguir, ele calculou a média aritmética destes dois perímetros:

Deste modo, obteve o perímetro aproximado (3,75 m) da mesa circular de diâmetro 1,10 m. Estimando cerca de 60 cm para cada pessoa ele concluiu que caberiam 6 pessoas à volta da mesa.

Fernando sabia que a média aritmética dos perímetros dos quadrados poderia não ser igual ao perímetro do círculo. Mas, para o que desejava, esta era uma aproximação razoável.

Apenas como curiosidade, vejamos qual é o erro relativo desta aproximação.

Temos: p = perímetro do círculo = 2r

Sem dúvida, o bom senso de Fernando funcionou bem!

Num encontro sobre ensino de Matemática realizado certa vez em Vitória, um aluno da Universidade do Espírito Santo descreveu-me um processo usado por seu pai, que trabalhava numa serraria, para obter o volume de uma tora de madeira.

Com um barbante, ele dá uma volta no tronco.

O barbante é então cortado no ponto em que a volta se completa. A seguir, ele dobra o barbante ao meio, juntando suas pontas. Depois, dobra-o novamente ao meio. Em seguida, mede o cumprimento do barbante dobrado em quatro.

O valor assim obtido é então multiplicado por ele mesmo e este resultado é depois multiplicado pelo comprimento do tronco. Pronto: o produto final obtido é o volume da tora.

Vamos analisar este processo. Estará correto?

Suponhamos a tora cilíndrica de raio r e comprimento c. Com o barbante dando uma volta no tronco, ele obtém o perímetro da circunferência de raio r, isto é:

comprimento do barbante esticado = 2r.

Dobrando duas vezes o barbante ao meio temos:

Este é o valor que ele obtém com o metro. Multiplicando-o por si mesmo e a seguir pelo comprimento da tora temos:

O volume do cilindro de raio r e comprimento (ou altura) c é r²c. Como < 4, concluímos que o valor obtido pelo pai do rapaz é menor que o volume da tora. Uma vez que

Comentei este fato com o estudante e ele me disse que as pessoas que comercializam a madeira sabem desta diferença e a aceitam, devido ao seguinte: desdobrando a tora em tábuas, sobram as costaneiras, tábuas da periferia do tronco que não são vendidas.

Deste modo, justificavam a aproximação por falta, no cálculo do volume da tora cilíndrica.

É interessante perceber que o processo descrito corresponde à seguinte idéia: substituímos o cilindro por um prisma de base quadrada.

Os dois sólidos têm o mesmo comprimento (altura) e suas bases têm perímetros iguais.

Esta transformação do círculo em quadrado preserva o perímetro, mas não a área.

De fato:

área do círculo = r²

Logo, área do quadrado < área do círculo.