- Uma correção oportuna

Escreve-nos Severino Zacarias, de Maceió, AL, apontando um erro nosso. Transcrevemos suas observações: “Com o devido respeito, permitam-me apontar um lapso contido na Nota: As diferentes maneiras de se extrair uma raiz quadrada (RPM 2, p. 27).

Diz a nota que se a₁ é um valor aproximado de , então a / a₁ também é um valor aproximado e a média aritmética

é um valor aproximado melhor  do que a₁. Ora, esta última afirmação nem sempre é verdadeira, como mostraremos a seguir.

Começamos observando que

,

Isto mostra, em primeiro lugar, que a₂ é um valor aproximado de  por excesso, isto é, (supondo, evidentemente, que a₁ é um valor aproximado da raiz isto é, ).

Se , então

e                                             ,

isto é, neste caso, , mostrando que a₂ é um valor aproximado melhor de que a₁. Todavia, se , então

e teremos

se e somente se , isto é, se e somente se .

Em resumo, se , então a₂ é um valor aproximado de  melhor do que a₁; se , então a₂ é melhor do que a₁ se e somente se . Sugerimos que o leitor represente a₁, a / a₁ e a_{2 ­­}num eixo de coordenadas e observe o que acontece com a / a₁ e a₂ quando a₁ se aproxima de zero.”

RPM: Não resta dúvida, o Professor Severino tem razão. Quando se calcula a raiz quadrada de um número a pelo método das aproximações sucessivas (veja RPM 2, p. 27), parte-se  um  valor inicial a₁  e a  partir  dele, obtém-se  uma seqüência de  valores a₁, a₂, a₃,.... que se aproximam do resultado desejado . O processo clássico, recomendada pela RPM naquela ocasião, é o seguinte: começando com o palpite a₁, toma-se o quociente a/a₁ e a segunda redação da RPM pisou na bola, dizendo que a₂ é uma aproximação para  melhor do que a₁. Então o Professor Severino apoderou-se da pelota e fez um gol de contra-ataque.

Neste ponto, convém fazer uma pausa e aplaudir. As pessoas que fazem esta revista querem que ela seja um veículo de comunicação e que seus leitores tenham uma participação ativa no processo de sua existência. Parabéns, portanto, ao professor Severino por manter-se atento e não acreditar em tudo o que é dito sem antes fazer sua verificações.

Mas voltemos à questão. Evidentemente,  é a média geométrica entre a₁ e a/a₁. Por conseguinte, quer a aproximação inicial a₁­ seja tomada maior ou menor do que , a₂ será sempre maior do que  porque a média aritmética entre dois números positivos desiguais é maior do que a média geométrica. (Isto é um fato interessante, que o nosso leitor poderá discutir com seus alunos, inclusive, explicando porque, em passado recente, as autoridades financeiras preferiam creditar a correção monetária pela média geométrica, em vez da média aritmética das inflações do meses anteriores.) Assim sendo, temos , independentemente de termos tomado a₁ perto ou longe de , a₁ maior ou menor do que . A partir daí, pelo mesmo raciocínio, teremos = média geométrica entre a₂ e a / a₂. Logo, sucessivas a₂, a₃, a₄, ... vão ser maiores do que  e formarão uma seqüência decrescente onde cada termo é mais próximo de  do que o anterior:

E o primeiro valor escolhido a₁?

Bem, se o valor inicial a₁ for maior do que , então tem-se obrigatoriamente

de modo que, neste caso, vale o que dissemos antes e a crítica do Professor Severino não procede.

Mas, se o valor inicial a₁ for menor do que , pode perfeitamente ocorrer que a₁ esteja mais próximo de  do que a₁, a₃ e mais alguns dos demais valores aproximados. Teremos a situação seguinte:

Entretanto, mais cedo ou mais tarde, encontraremos um valor a_k mais próximo de  do que a₁. E, a partir daí, todos os seguintes, a_{k +1}, a_{k + 2} etc., serão aproximações melhores do que a₁.

— Pouco tempo, pouco interesse. O que fazer?

Sueli Sampaio Firmino, de Ooio-Erê, PR, recém-formada, escreve-nos perguntando, entre outras coisas, como despertar o interesse nos jovens para o estudo da Matemática, no 2º grau, contando com somente duas aulas semanais no período noturno.

RPM: Outros colegas nos têm escrito reclamando do pouco tempo de que dispõem para o desenvolvimento do programa do 2º grau. Este é um sério problema que precisa ser rediscutido sob a ótica da formação geral do estudante. Quanto a despertar o interesse do aluno, a RPM tem trazido, especialmente na seção “Para que serve?”, temas que pretendem ajudar o professor a motivar suas aulas. Alguns destes artigos podem ser lidos pelos estudantes, fora do horário das aulas, outros podem ser usados em alguma atividade que ilustre um ou outro tópico do programa. Também a coleção, por diversas vezes citada na RPM, de Trotta, Imenes e Jakubovic “Matemática Aplicada” (Editora Moderna) traz muitas motivações de caráter prático para a introdução de novos conceitos matemáticos, bem como trechos de sua história. Estas são algumas de nossas sugestões; o colega mais experiente deve conhecer outras, que gostaríamos de publicar. Aguardamos sua manifestação.

— Ainda em 1985

O colega José Renato Carneiro e Carneiro, de Ribeirão Preto, SP, envia uma solução para o problema proposto por João de Deus Lima (RPM 8, p. 60) mas usa uma passagem ao limite, enquanto o colega Sérgio Dahnas, de São Vicente, SP, apresenta as soluções:

  99 = 19,8 X 5

, com 14 radicais.

Sérgio dá, ainda, uma solução geral para esta década, escrevendo o número n (n  IN*) com os algarismos 1, 9, 8, e a (a ¹ 0) da seguinte forma:

,                                         

com 3an radicais, onde n, a  IN* e log representa o logaritmo na base l0. Esta é uma solução inspirada na dos irmãos Rui e Roger Chamas para o problema dos quatro “quatros” ( RPM 4, p. 33).

— E as demonstrações?

Os colegas Sérgio Augusto Torres, de Lages, SC, e José Renato Carneiro e Carneiro, de Ribeirão Preto, SP. discordam da opinião da colega Fusa Yoshiko Takada (RPM 8, p. 60) quanto ás extensas demonstrações da RPM. Sérgio acrescenta que talvez envie uma colaboração à Revista.

RPM: A colaboração dos leitores é muito importante. Quer atendendo a uma ou outra opinião, o depoimento do professor que convive com o aluno é sempre de muita valia para a RPM.

— Ainda mais histórias!

A sugestão do colega Sun Hsien Ming (RPM 8, p. 61) para que a RPM publique histórias de grandes matemáticos teve apoio de outros leitores. O colega Roberto Rottini, de Canoas, RS, foi um deles. O colega João Gabriel Chaves, do Rio de Janeiro, RJ, conta que tem organizadas num fichário muitas biografias de matemáticos. Boa idéia, O colega Guilherme M. de La Penha, Diretor do Museu Paraense Emilio Goeldi, de Belém, PA, escreve-nos lembrando que, além das notas históricas publicadas na RPM, o leitor pode contar com outras publicações, em Português, como por exemplo: Evariste Galois - a vida efêmera de um gênio (Boletim da Sociedade Paranaense de Matemática, 5 (2), pp. 63-82, de autoria do prof. Clóvis Pereira da Silva. Da Universidade de Brasilia, são citados uma tradução de H. E. Huntley, A Divina Proporção - um ensaio sobre a Beleza na Matemática (obra de 177 páginas da Editora da UnB, de 1985, que trata da razão áurea), e a íntegra de um trabalho sobre Euler (do qual a RPM extraiu alguns trechos para o seu número 3, dedicado a este matemático por ocasião do bicentenário de sua morte) que se encontra na revista Humanidades, vol. II, nº 5 (1983), pp. 94-115, de autoria do prof. Guilherme M. de La Penha, sob o título “A Grandeza do desconhecido Euler”.

— Polígonos

João Dionisio Filgueira Sobrinho, de Recife, PE, enviou à RPM um trabalho onde são calculados os lados e apótemas de pentadecágonos regulares estrelados em função do raio da circunferência circunscrita.

Eduardo Curvello, de Osasco, SP, enviou à RPM um trabalho onde apresenta um método de construção com régua e compasso do heptadecágono regular.

O colega interessado nestes resultados pode escrever à RPM.

— O colega Mauro A. da Silva Franco, de Belém, PA, sugere que a RPM publique artigos sobre os seguintes assuntos: A Álgebra de Boole e suas aplicações práticas na Engenharia, A transformada de Laplace e suas aplicações práticas, O significado geométrico das inequações do tipo  e suas aplicações na Programação Linear, Modelos de avaliações e testes didatica­mente atualizados.

—          A colega Mariane Scbwartz, de Montenegro, RS, pede um artigo sobre Máquinas de cal­cular: vantagens e/ou desvantagens e como explorar tal recurso no 2º grau.

—          O colega Veriano Catinin de Souza, de Rio Bonito, RT, espera que em breve tenhamos três números anuais, pelo menos, da RPM.

RPM:   Estamos estudando estas sugestões. Alguns dos temas propostos talvez sejam mais apro­priados à Revista Matemática Universitária, também da SBM. Quanto às máquinas de calcular, a RPM já vem escrevendo sobre elas (RPM 2, p. 27, RPM 7, p. 20; RPM 6, p. 60), mas ainda é preciso mais.

- O colega Paulo Roberto de Castro Souza, de Teresina, PI, escreve agradecendo à equipe que faz a Revista e indaga: “Esta publicação é uma verdadeira preciosidade e por isso gostaria de saber se existe ajuda de algum órgão do governo”.

RPM: Constam no Expediente de cada número as fontes de financiamento que têm permitido a distribuição gratuita desta Revista a mais de 20 mil assinantes em todo o Brasil. Repetimos, entretanto, um pouco da história de nosso financiamento. A SBM é uma sociedade civil, sem fins lucrativos que conta com verbas do CNPq e da FINEP. A SBM é a responsável pela Revista e participa também com o trabalho gratuito de seus sócios como autores, responsáveis por seções, colaboradores e editores. Nossos anunciantes, editoras e o BANESPA, participam também, enquanto a Atual Editora nos cede assessoria editorial. O Instituto de Matemática e Estatística da USP põe à disposição da RPM parte da equipe e da infra-estrutura administrativa, bem como sede, caixa postal, telefones etc. As demais despesas têm sido cobertas com verbas do CNPq, SEPS/MEC (que contribuiu de 1982 a 1985 e não contribuiu em 1986) e, ultimamente, a RPM tem recebido decisivo apoio do Subprograma Educação para a Ciência do MEC/CAPES/PADCT. Este foi, de fato, o primeiro auxílio a longo prazo e que permitiu uma programação mais efetiva de continuidade da RPM. Estendemos a nossos anunciantes e a estes órgãos o agradecimento que a equipe da RPM vem recebendo de tantos de seus leitores.

- Luiz Carlos Mesquita, de Sobral, CE: “Gostei muito dos comentários feitos sobre as Olimpíadas de Matemática e achei muito importante a parte da Revista dedicada às dúvidas do leitor: O leitor pergunta.”

RPM: A seção “O leitor pergunta” apresenta somente uma amostra da correspondência que sua equipe mantém durante todo o semestre respondendo às dúvidas dos leitores.

- Sueli Sampio Firmino, de Goio-Erê, PR: “Ficamos encantados com os Caleidociclos que estão sendo confeccionados pelos alunos do 3º ano do Magistério...”

- Sobre o artigo “Algumas Técnicas Operatórias” (RPM 8, p. 42) o colega Lucien Jean Thys, de Porto Alegre, RS, conta que para justificar o processo de técnica camponesa basta desenvolver um dos fatores (o menor, de preferência) em base 2. No exemplo dado,

Agora é fácil completar a prova do processo, não?

Lembra ainda o colega que basta conhecer a tabuada do 2 para efetuar qualquer multiplicação por esta técnica!

- Observa o colega Aristóteles Euflasino Ferreira, de Itabaiana, PB, em artigo enviado à RPM, que a tradicional fórmula apresentada usualmente pelo livros didáticos para o cálculo do produto dos termos de uma PG com n termos:

colega deduz

,

números inteiros.

- Escreve-nos o colega Jorge Roberto Grobe, de Pato Branco, PR, com uma idéia para ilustrar as coordenadas cartesianas no espaço. De uma tela de arame de malhas quadradas, corte três quadrados com cerca de 45 cm de lado nos quais faça fendas de modo a juntá-los formando um modelo dos planos cartesianos. Com fios coloridos, cartolina e alguma imaginação, é possível ilustrar a localização de pontos ou, por exemplo, a representação gráfica de equações do tipo   . Vamos tentar?