Perguntas devem ser enviadas para
RPM – O leitor Pergunta
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- Luís Eduardo Ourique, de Porto Alegre, RS, faz entre outras, as seguintes perguntas: “O que acham dos programas de 5ª a 8ª séries que prevêem muita Álgebra, pelo menos no Rio Grande do Sul? A Geometria não deveria ser mais trabalhada? Que tipo de Geometria ou em que nível isto poderia ser feito?”

RPM: A causa da diminuição do programa de Geometria no 1º ciclo (5ª a 8ª séries) foi, a princípio, a introdução da Matemática Moderna, que propunha o seu ensino por meio de espaços vetoriais ou grupos de transformações geométricas. A assimilação do assunto pelos estudantes na faixa de 12 a 14 anos tornou-se difícil, e também para o próprio professor que não se sentia, muitas vezes, seguro em seus conhecimentos para transmiti-los eficientemente. Conseqüentemente, o ensino da Geometria foi sendo eliminado, dando o professor relevância a assuntos de Conjuntos e temas de Álgebra.

Hoje, a filosofia do ensino é outra, isto é, em vez da preocupação com as estruturas tem-se em mente o princípio de que o conhecimento deve partir do concreto, do mundo físico, da realidade sensorial, para o abstrato. Deve-se, então, fazer largo uso da Geometria intuitiva como, por exemplo, no ensino da multiplicação e divisão de frações, a obtenção das regras pela noção de área de um retângulo. Outros exemplos: o uso das áreas do quadrado e do retângulo na fatoração do trinômio do 2º grau (RPM 6, p. 36), ou o teorema de Pitágoras, que pode ser ilustrado pelo corte dos triângulos da Figura 1, compondo-os no quadrado da Figura 2 (RPM 2, p. 14).

Mais adiante, alguns teoremas podem ser demonstrados para que os alunos tenham a noção correta de demonstração.

Resumindo nossa opinião:

a)   A Geometria deve ser trabalhada intensivamente, aplicando-a em questões oportunas de Aritmética e Álgebra, a partir da 5ª série;

b)    O desenvolvimento da Geometria deve ser feito a partir de apelos à intuição e chegando a deduções que levem o aluno ao conhecimento das demonstrações de alguns teoremas importantes, e não óbvios, despertando ainda a criatividade através de construções geométricas, a partir da 7ª série.

(Resposta dada pelo Prof. Benedito Castrucci)

- Meire de Lourdes Gomes, de Belo Horizonte, MG, gostaria de receber indicações bibliográficas sobre Jogos ou Matemática Recreativa para o nível do 1º grau.

RPM: Aqui vão algumas indicações do acervo da Biblioteca Carlos Benjamin de Lyra, do Instituto de Matemática e Estatística da USP.

CARVALHO, T. M. Curiosidades matemáticas. 2. ed., S.l., S. ed., c1940. 61p.

DUDENEY, H. E. Amusements in Mathematics. New York, Dover, c 1970, 258p.

GARDNER, M. Divertimentos matemáticos. São Paulo, IBRASA, c1959. 187p.

KRAITCHIK, M. La Mathématique des jeux. Bruxelles, Stevens Frères, 1930. 566p.

MALBA TAHAN. Diabruras da Matemática. Rio de Janeiro, Getúlio Costa, 1943. 286p.

MALBA TAHAN. O homem que calculava. 24. ed., Rio de Janeiro, Conquista, 1971. 291p.

NORTHROP, E. P. Curiosidades da Matemática. Lisboa, Ulisséia, s.d. 265p. (Livros Pelicano, 18).

Poderíamos mencionar, ainda os seguintes livros:

MALBA TAHAN. Maravilhas da Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro. Bloch. 1983, 256p.

PERELMAN, Y. Algebra Recreativa, Moscou, Mir, 1969. 180p.

PERELMAN, Y. Matemáticas Recreativas. 6. ed., Moscou, Mir, 1985. 224p.

- De Montes Claros, MG, um leitor pede a solução do seguinte problema por Geometria Elementar e por Geometria Analítica: São dados um triângulo, a circunferência circunscrita e um ponto P desta circunferência. Prove que estão em uma mesma reta os três ponto obtidos como projeção ortogonal de P sobre cada um dos lados do triângulo dado.

RPM: Este é um problema do livro de Lidsky (RPM 3), o número 384.

A reta formada por estes três ponto é chamada reta de Simpson e uma resolução por Geometria Elementar pode ser a seguinte: denote os vértices do triângulo com as letras C, A, B partido de P em sentido anti-horário e sejam Q, R, S, respectivamente, as projeções ortogonais de P sobre AB, BC, CA.

Posição relativa dos pontos: da maneira como foram denotados, o ponto R é sempre interno ao lado BC e, se o ponto P for diametralmente oposto a A, então os pontos Q e S coincidem com os vértices B e C, donde o resultado é óbvio. Se o ponto P não coincidir com o ponto diametralmente oposto a A, então sempre teremos um dos pontos Q ou S interno ao respectivo lado e o outro externo (enquanto R se mantém sempre interno a BC). Nestes casos, os pontos Q e S estão sempre em semiplanos diferentes, quer em relação à reta PR, quer a relação à reta BC e provar que Q, R e S estão na mesma reta equivale a provar a congruência dos ângulos  e (T₁). Esta é, por ora, nossa tese.
 

O quadrilátero PCRS tem em R e S ângulos retos, logo, seus ângulos opostos são suplementares e ele é, portanto, um quadrilátero inscritível numa circunferência, na qual os ângulo  e  subtendem o mesmo arco. Tem-se, então  (1) (RPM 6, p. 42). Por outro lado, os triângulos retângulos  e  têm, em M, ângulos opostos pelo vértice, logo, estes triângulos são semelhantes e tem-se

o que implica que também sejam semelhantes os triângulos  e  que têm, em M, ângulos opostos pelo vértice formados por lados proporcionais. Daí concluímos a congruência dos outros ângulos, donde  ou  (2). Comparando (T₁) com (1) e (2), verifica-se que a nossa tese pode ser reescrita como:

               (T₂)

Do fato do quadrilátero ABPC  ser inscrito numa circunferência, vem que o ângulo  é suplementar do ângulo , e então  (por terem o mesmo suplemento). Verificando o que acontece nos triângulos  e , nota-se que vale (T₂), pois os ângulos em questão têm o mesmo complemento.

- Um colega de São Paulo (autor de “A ilha dos sapatos gratuitos”, RPM 7) nos pergunta:

1)      Existem três números misteriosos: e, p, i. Haverá mais algum deste tipo?

2)      Dados dois números reais A e B, quantos irracionais existem entre eles?

RPM: 1) Os números e, p e i são famosos – mas serão misteriosos? Há outros números apresenta na RPM 6, pg. 9 a 14. Não vamos alongar a resposta agora, pois é bem possível que a pergunta mereça um artigo em uma futura RPM.

2) Quanto à segunda pergunta: existem infinitos números irracionais entre dois reais A e B. Na RPM 4, pg. 4-9, dois teoremas estão demonstrados;

a)      o conjunto dos números racionais é numerável;

b)      o conjunto dos números reais entre 0 e 1 não é enumerável.

Conclui-se, então, que existem infinitos números irracionais entre 0 e 1.

Vamos provar que existem infinitos números irracionais entre A e B, quaisquer que sejam os reais A e B com A ¹ B.

Com efeito, se A B, com A e B racionais e x é um número irracional entre 0 e 1, então 
t = A + x(B – A) é um número irracional entre A e B. Se A ou B ou ambos são irracionais, com 
A B, considere os números irracionais , onde  e  sejam convenientes aproximações racionais de A e B ( , e  entre A e B podem ser obtidos por truncamento do desenvolvimento decimal do irracional, tomando-se um número suficiente de casas e, se preciso, somando 1 ao algarismo da última casa, a fim de que se tenha ainda  e  entre A e B).