Esta Olimpíada realizou-se na Polônia, em julho deste ano, e contou com a participação de 37 países convidados para o evento.

As equipes de cada país são constituídas por 6 estudantes do 2ª grau, acompanhados por dois professores.

Este ano empataram, em 1º lugar, os Estados Unidos e a União Soviética, seguidos da Alemanha Ocidental e China. Foi no ano passado que a China, pela primeira vez, participou de uma Olimpíada Internacional e já este ano se classificou em 4º lugar!

O Brasil, graças ao apoio financeiro do PADCT/CAPES/SAI/MEC, pôde enviar uma equipe formada pelos seis vencedores da 7ª Olimpíada Brasileira (RPM 7, p. 57). Destacou-se o aluno Ralph da Costa Teixeira que obteve um 1º lugar na classificação individual. É a segunda vez, desde 1979, quando o Brasil começou a participar das Olimpíadas Internacionais, que um estudante brasileiro conquista um 1º premio. A outra vez foi em 1981 – o estudante, então premiado. Nicolau Corção Saldanha, fez em seguida, o curso de Matemática na PUC do Rio de Janeiro, completando-o, juntamente com o mestrado, e menos de 4 anos. Foi então aceito como estudante de pós-graduação numa da mais prestigiosas universidades americanas, a Universidade de Princeton, onde se encontra atualmente, fazendo o doutoramento.

 Ralph da Costa Teixeira, já premiado em olimpíadas brasileiras, recebeu também um 1ª prêmio na 1ª Olimpíada Ibero-Americana. Como somente terminará o 2º grau este ano, ainda poderá participar de mais duas olimpíadas: a 2 ª Ibero-Americana (no Uruguai, em janeiro de 87) e a 28ª Internacional (em Cuba, em julho de 87).

Abaixo, publicado o 6º problema da 27ª Olimpíada Internacional. É um problema que, aparentemente, não requer nenhum conhecimento especifico de Matemática, exigindo, porém, numa criatividade. Dos 212 participantes 47 receberam nota integral neste problema e houve uma grande variedade de soluções corretas. Transcrevemos abaixo o problema e uma solução muito elegante  apresentada  recentemente por Manuel Valentim de Pera Garcia, estudante de pós-graduação da USP.

“É dado do plano finito. E de pontos de coordenadas inteiras. É sempre possível cobrir todos os pontos de E, com duas cores, vermelho ou branco, de modo que para toda reta r paralela, quer ao primeiro, quer ao segundo eixo coordenado, a diferença entre o número de pontos vermelhos e o número de pontos  brancos, pertinentes a r, seja 1, 0 ou –1. Justifique?”

Solução:

Sim, é possível. Usaremos indução sobre os números de pontos de E.

A afirmação é verdadeira se E tiver 1 ponto.

Suponhamos que a firmação seja verdadeira para conjuntos com n pontos.

Seja E um conjunto com n + 1 ponto. Vamos contar os pontos de E em cada uma das retas paralelas, quer ao primeiro, quer ao segundo eixo coordenado.

         Se existir  uma reta r com um numero ímpar de pontos, removendo um dos pontos desta reta. Sobrará um conjunto com n pontos que, pela hipótese indutiva, poderão ser coloridos nas condições do problema. Na reta r existirá, então, um número par de pontos coloridos, havendo tantos vermelhos quanto brancos. Basta olhar agora para a outra reta que contém o ponto que for removido e colori-lo adequadamente.

         Se todas as retas tiverem um número par de pontos, removemos qualquer um deles e novamente colorimos o conjunto restante A, de n pontos, nas condições do problema, pela hipótese indutiva. Suponhamos que o ponto removido estivesse no cruzamento das retas r e s. Em todas as demais retas existem tantos pontos vermelhos quanto brancos, pois cada uma destas retas tem um número par de pontos. A reta r, com um número ímpar de pontos, tem um ponto, digamos vermelho, a mais. Isto significa que o conjunto A tem um ponto vermelho a mais. Portanto o ponto a mais da reta s tem que ser vermelho. Basta, então, pintar de branco o ponto removido.

Observação: existem soluções do problema que nem sequer usam indução.

Realizou-se em setembro de 1986, em 11 cidades e 8 estados do Brasil. Os seguintes alunos foram premiados:

1º prêmio: Ralph da Costa Teixeira

2º prêmio: Felipe Fritz Braga

3º prêmio: Marcelo Ricado Xavier de Mendonça, Herbert César Gonçalves

4º prêmio: Marcelo Coelho Ferraz, Tsai Kun Cheng, Alberto Adami, Paulo Ivo Braga de                 Queiroz.

Menção honrosa: Frederico Gamen Filho, Gustavo Yonashiro, Coelho, Dorivâ Reis Silva, Song San Woei, Marcelo dos Santos Girão, Gabriel Afrísio M. Pssas, Marcelo Curto Saavedra.

Transcrevemos abaixo 3 dos 5 problemas propostos:

1.      Uma bola se movimenta em reflexão perfeita sobre uma mesa de bilhar cujo bordo é uma circunferência. Prove que uma condição necessária e suficiente para que a bola passe uma infinidade de vezes por um mesmo ponto é que passe três vezes por esse ponto.

2.      Dado um número natural n, determine de quantas maneiras esse número ser representado como soma de naturais consecutivos.

3.      Obtenha todos os números de dez dígitos tais que o dígito que figura na posição k (para todo k, com 0 k 9) seja igual ao número de vezes que o algarismo k figura no numero.

Professores que desejarem receber as questões das Olimpíadas Internacionais e Brasileira, de 1986, com soluções, deverão fazer o pedido para “Olimpíadas RPM”, Cx.P. 20570, CEP: 01498, São Paulo, SP e juntar um cheque, em nome do Comitê Editorial da RPM, no valor de Cz$ 8.00 para cobrir as despesas.

O professor José Renato Carneiro e Carneiro apontou um erro na p. 53 da RPM 8: sob o titulo “9ª Olimpíada do Estado de São Paulo”, no enunciado do 2º problema, a RPM escreveu: m(ABC) = 120º. O correto é: m(ACB) = 120º.

Na RPM 7 p. 56, pedimos uma solução elegante da 3ª questão da 7ª Olimpíada Brasileira. O professor João Lineu do Amaral Prado, de Jaú, SP, atendeu nosso pedido. Repetimos o enunciado do problema e a solução do colega.

“Um quadrilátero convexo está inscrito em uma circunferência de raio unitário. Demonstre que a diferença entre seu perímetro e a soma de suas diagonais é maior do que zero e menor do que 2”

donde

 S = AB + BC + CD + DA – AC – BD > 0.

     Fazendo , ,  e  temos

S = 2 sen 2a + 2 sen 2b + 2 sen 2c + 2 sen 2d – 2 sen 2 (a + b) – 2 sen 2(b +c)

Transformando em produto as somas das parcelas 1 e 3, 2 e 4, 5 e 6, e observando que 

a + b + c + d = /2, chegaremos a

S = 4 cos(b + d) cos(a – c) – 8 cos(b – d) sen a ^.  sen c.

Mas, 0 |b – d| < b + d < /2, donde – cos (b – d) < – cos(b + d).

Como sen a ^. sen c > 0.

S < 4 cos(b + d) ^. [cos(a – c) –2 sen a . sen c] = 2 ^. 2 cos (a + c) = 2 sen 2(a + c)

e como 0 < 2(a + c) < p, vem S < 2.

Ainda em relação a este problema, o professor Lineu demonstrou a desigualdade proposta para polígonos regulares de n lados, dando um passo em direção à generalização pedida na RPM 7.

No dia 31/08 realizou-se a 1ª Olimpíada de Matemática em Angélica, MS (diz a carta: “procure bem no mapa do Brasil que ela está lá”), contando com a participação de mais de 200 alunos do 1º e 2º graus. Durante 3 meses, alunos e professores se prepararam para o evento que despertou grande interesse entre os estudantes. Órgão públicos municipais ofereceram aos vencedores prêmios em dinheiro.

No dia 07/06 realizou-se II Olimpíada Mineira de Matemática, com a participação de 268 jovens de 14 cidades mineiras. Uma calculadora, coleções de livros e uma bolsa de estudos para um curso de Introdução à Programação de Computadores foram os prêmios oferecidos.

Transcrevemos abaixo duas questões da prova:

1.  Suponhamos que você pedisse a alguém escrever dois números quaisquer, um abaixo do outro e, em seguida, escrever abaixo a soma destes dois números, e continuar assim escrevendo a soma dos dois números imediatamente superiores, até completar 10 linhas. Você poderia então “adivinhar” a soma dos dez números, olhando rapidamente  a coluna e  multiplicando o sétimo número por 11. Explique por que isso sempre acontece.

 2. No meio de um pasto foi construído um paiol hexagonal com lado de 2 metros. Uma cabra foi amarrada com uma corda a uma das quinas do paiol. Se a corda fica com um comprimento livre 5 metros, qual será que a cabra pode alcançar?

A III Olimpíada Mineira já tem sua prova marcada para o dia 30 de maio de 1987. Há coordenadores regionais em diversas cidades mineiras e novas coordenações poderão ser organizadas. Veja RPM 8, p. 55, a quem se dirigir para maiores informações.

No dia 14/08 Brasília realizou sua VI Olimpíada de Matemática. A RPM recebeu uma cópia da prova, da qual transcrevemos duas questões:

1. Um triangulo ABC possui lados tais que a > b > c. Um segundo triangulo possui lados

2. Determine um número de 4 dígitos, sabendo que seus dois primeiros dígitos são iguais, que seus dois últimos dígitos também são iguais e que o número é um quadrado perfeito. (A RPM tornou a liberdade de encurtar o enunciado original).

Realizou-se no dia 30/08 a prova da I Olimpíada de Matemática – Fase Regional Bahia, organizada pelo Departamento de Matemática da UFBa, com a participação de 88 estudantes de 8 escolas.

Os trabalhos preparativos foram iniciados em abril quando, após uma prova de pré-seleção, foi oferecido aos estudantes um curso de 30 horas complementando conteúdo programático a nível de 2º grau. Em julho, após uma prova especifica para seleção dos finalistas, um novo curso de 20 horas, sobre problemas de Olimpíadas e conhecimentos necessários para resolvê-los, foi ministrado.

É digno de nota que nas duas últimas Olimpíadas Brasileiras apenas dois estudantes, fora do eixo Rio-S Paulo, se destacaram. Ambos são da Bahia.