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44. Visando motivar os apostadores, a Caixa Econômica aprovou a ampliação de 13 para 16 do número de jogos de cada teste da Loteria Esportiva, a partir de março de 87, com prêmios para os que acertarem 15 ou 16 dos prognósticos. A reação de um amigo foi: Se já era difícil acertar 13, quanto mais 15 ou 16! Mostre, por meio do cálculo de probabilidades, que este amigo está certo quanto aos 16, mas não quanto aos 15. 45. Dado o triângulo eqüilátero ABC de lado a, calcule a área do DDEF, onde D é o ponto médio de BC e E e F são as projeções ortogonais de D sobre os lados AB e AC, respectivamente. (Enviado por Cosmo Moreira de Carvalho, Boa Vista, RR)
(Enviado por José Renato Carneiro e Carneiro, Ribeirão Preto, SP)
48. Num icosaedro regular de aresta a, cada vértice está ligado a 5 outros vértices formando uma pirâmide pentagonal. Calcule a altura dessa pirâmide.
1. Qual é o número que dividido por 2, 3, 4, 5 e 6 tem para resto, respectivamente 1, 2, 3, 4 e 5? (enviado por Lucien Jean Thys, Porto Alegre, RS) 2. Numa família, cada filha moça tem o mesmo número de irmãos e irmãs e cada filho homem tem duas vezes mais irmãs do que irmãos. Quantas filhas moças e filhos homens há nesta família? (enviado por Carlos Alberto Cysne de Morais, Fortaleza, CE) 3. Observe: 1/5; 1/45; 1/117; 1/221; 1/357; ... a) Você consegue descobrir uma lei de formação? b) Qual é a soma dos 13 primeiros termos? (enviado por João Gabriel Chaves, Rio de Janeiro, RJ) (Ver respostas na seção "O leitor pergunta")
Como a área do
Portanto, a área procurada é
(Solução enviada por Eudes Vital Chiarelli Filho, de Belo Horizonte, que nos enviou outras 10 soluções distintas do mesmo problema.) 40. 2n pessoas foram ao cinema. A metade carrega uma nota de Cz$ 5,00, a outra metade carrega uma nota de Cz$ 10,00. O ingresso custa Cz$ 5,00 e, inicialmente, o caixa está absolutamente sem troco. De quantas maneiras distintas estas pessoas podem se enfileirar de modo que a fila possa ser atendida sem transtorno? Solução: Vamos dizer que cada pessoa que carrega uma nota de Cz$ 5,00 é do “tipo C” e a que carrega uma nota de Cz$ 10,00 é do tipo “tipo D”. Podemos assim representar qualquer fila por uma seqüência de 2n letras, onde n delas são C’s e as outras n são D’s. Vamos dizer também que uma fila é boa se resolve o problema e ruim quando não resolve o problema.
No caso geral, o número de filas boas é igual ao número de caminhos que vão da origem até o ponto N (n, n), sem passar para baixo da reta y = x. O número total T de caminhos de O até N é igual ao número B de caminhos bons mais o número R de caminhos ruins:
(Solução enviada por Leonardo Pastor, São Paulo, SP)
41. Quais são as possíveis sombras de um cubo? Solução: Para sabermos quais são as possíveis sombras de um cubo devemos antes saber que: - ou uma face do cubo é iluminada ou não, - podemos iluminar 1, 2 ou no máximo 3 faces de um cubo. - a sombra é o “contorno externo” da parte iluminada da(s) face(s) do cubo, isto é, o “contorno externo” da parte que nós enxergaríamos na posição do Sol. Assim: j quando iluminamos apenas 1 face, a sombra é um quadrado; kquando iluminamos 2 faces, a sombra é um retângulo e l quando iluminamos 3 faces, a sombra é um hexágono. (Solução enviada por Michel Kireeff Covo, São Paulo, SP)
42. Em quantas partes o plano é dividido por n circunferências, se duas quaisquer se interceptam? Solução: Seja f(n) o número de regiões em que o plano fica dividido por n círculos, supondo que dois quaisquer se interceptam. Suponha que n círculos estejam desenhados. Ao desenhar o círculo de ordem n + 1, vemos que este, ao cortar os n círculos anteriores, possui 2n pontos de interseção com eles. Portanto, o círculo de ordem n + 1 está dividido em 2n arcos e cada um desses arcos divide uma região em duas outras. Portanto f(n +1) = f(n) + 2n. Esta relação nos mostra que f é do tipo f(n) = an2 + bn + c. Como f(1) = 2, f(2) = 4 e f(3) = 8, temos f(n) = n2 – n + 2. (Solução enviada por Eduardo Wagner, Rio de Janeiro)
Nota 1: Este problema faz parte do problema 36 do Livro Inducción em la Geometria de Golovina e Yaglóm, Ed. Mir, Moscou, que pode ser encontrado na Livraria Tecno-Científica, R. Barão de Itapetininga, 88 – Loja 6A, Galeria Ita – São Paulo. Nota 2: Pressupõe-se neste problema que as circunferências estejam em “posição geral”, isto é, 3 quaisquer delas não têm ponto em comum.
43. Prove que todo triângulo com duas bissetrizes iguais é isósceles. Solução:
:Na figura ao
lado você vê o
b + q = a’ + q’ (1)
Imagine que os
ângulos
(Solução enviada por Eduardo Wagner, Rio de Janeiro, RJ)
Nota: Este problema foi originalmente proposto por C. L. Lehmus em 1840 e resolvido por Jacob Steiner. Para conhecer a história desse problema até 1940, leia J. A. McBride, Edinburgh Math. Notes, 33 (1943), pp. 1-13. Leia tam´bem a resenha que Martin Gardner fez do livro Introduction to Geometry de H. S. M. Coxeter (Scientific American, 204 (1961), pp. 166-168). Duas soluções distintas aparecem como artigos na revista American Mathematical Monthly, vol. 70 (1963), pp. 79-80 e vol. 55 (1948), p. 495. Agradecemos ao colega Mário Arlindo Casarin Jr., do Rio de Janeiro, pelas informações.
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, o círculo
tangente a 
em O e o ponto P estão fixos. Determine o lugar geométrico dos
ortocentros do 
OAB,
quando a reta r varia mas sempre passando por P.
. 
x,
onde y 
Z, o
número de pessoas do tipo D. Um exemplo com n = 3 é visto na Figura
1, onde representamos a fila CDCCDD. 
números de
Catalan e aparecem em vários problemas combinatórios. 
e
. Seja
'
'