RPM 09 - Ainda sobre a regra de três

Depois de escrever nosso último artigo para a RPM 8, tivemos a oportunidade de examinar vários textos escolares de Matemática usados nos Estados Unidos. E qual não foi nossa surpresa – agradável surpresa! – ao verificarmos que ao tratar de “razões e proporções” os livros americanos não incorrem no mesmo arcaísmo de abordagem que ainda encontramos nos livros brasileiros. Eles introduzem as noções de “variação direta” (“direct variation”) e “variação inversa” (“inverse variation”), equivalentes, respectivamente, às noções de “variáveis diretamente proporcionais” e “variáveis inversamente proporcionais” das Definições 1 e 2 do nosso último artigo. E introduzem esses conceitos quando tratam das equações do primeiro grau, apresentando ao mesmo tempo as primeiras noções sobre funções e o problemas sobre grandezas proporcionais.

Pretendemos mostrar, no artigo presente, por meio de vários exemplos concretos, que todos os problemas propostos nos livros como sendo de “regra de três” – seja direta ou inversa, simples ou composta – todos eles podem ser formulados e resolvidos algebricamente, de maneira bem mais racional e compreensível do que pelos procedimentos ainda usados nos livros escolares. Proporemos também alguns problemas de maior interesse e atualidade do que vários dos que ainda encontramos nesses livros.

Para resolver os problemas chamados de “regra de três” bastam as Definições 1 e 2 do nosso artigo anterior na RPM 8 que, por conveniência, repetimos a seguir.

Definição 1. Diz-se que duas variáveis x e y são “diretamente proporcionais” se estiverem assim relacionadas: y = kx ou y/x =k, onde k é uma constante positiva, chamada “constante de proporcionalidade”.

Definição 2. Diz-se que duas variáveis x e y são “inversamente proporcionais” se y = k/x ou xy = k, onde k é uma constante positiva, chamada “constante de proporcionalidade”.

Vários dos problemas propostos nos livros envolvem a velocidade de um móvel. Ora, este é um conceito simples, que deve ser ensinado claramente ao aluno. Se s é o espaço percorrido por um móvel durante um certo tempo t, então, por definição, a sua velocidade média v é v = s/t, donde se segue que s = vt. Convém esclarecer que em todos os problemas propostos a palavra “velocidade” significa sempre “velocidade média”. Muitas situações ocorrem com a presença de grandezas que são o análogo de uma velocidade, e que, de um modo geral, são uma “taxa de variação” ou “razão”. Exemplo disto é o caso de torneiras que enchem uma caixa d’água; se a caixa d’água recebe água na razão de l litros por unidade de tempo, durante um intervalo de tempo t, então ela receberá uma quantidade Q de água, dada por Q = lt. Bem, vamos aos problemas.

Problema 1. Uma viagem foi feita em 12 dias percorrendo-se 150 km por dia. Quantos dias seriam necessários para fazer a mesma viagem percorrendo-se 200 km por dia?

Está claro, pelo enunciado do problema, que a distância s percorrida é a mesma nas duas hipóteses feitas. No primeiro caso, a velocidade é 150 km/dia, e no segundo, 200 km/dia. Substituindo-se esses dados na fórmula s = vt, encontramos

Igualando os segundos membros, eliminamos s e obtemos um equação em t, que nos dá t=9dias.

Problema 2. Um litro de água do mar contém 25 g de sal. Quantos litros de água devem ser evaporados para obtermos 8 kg de sal?

Se l designa a quantidade de litros de água, q a quantidade de sal por litro e S a quantidade sal no l litros de água, então S = ql. Com os dados do problema, esta equação passa a ser (observe que q = 25 g = 0,025 kg)

Problema 3. Cinco torneiras idênticas juntas enchem um tanque em 144 minutos. Quantas dessas torneiras são necessárias para encher o mesmo tanque em uma hora e meia?

Seja C a capacidade do tanque, N o número de torneiras (esta grandeza representa uma taxa de variação, qual seja, a quantidade de água despejada por minuto) e T o tempo necessário para encher o tanque. Então, C = NT. Basta agora substituir os dados nesta equação, eliminar C e resolver a equação resultante para encontrar N. Como uma hora e meia é o mesmo que 90 minutos, temos:

Problema 4. Num hangar, a razão do espaço ocupado por um helicóptero para o de um bimotor é de 5 para 3. Quantos bimotores ocupam o espaço de 15 helicópteros?

Problema 5¹. Um certo rei mandou 30 homens plantar árvores em seu pomar. Se em 9 dias eles plantaram 1000 árvores, em quantos dias 36 homens plantariam 4400 árvores?

Sejam A o número de árvores, H o número de homens e D o número de dias. O número de árvores plantadas é proporcional ao tempo total de trabalho, que é produto do número de homens pelo número de dias de trabalho, isto é, A = k(H X D). Substituindo os dois conjuntos de dados nesta equação, obtemos

dividindo uma equação pela outra, eliminamos k e ficamos com uma só equação para determinar D:

Problema 6. Se 6 datilógrafos, em 18 dias de 8 horas, preparam 720 páginas de 30 linhas, com 40 letras por linha, em quantos dias de 7 horas, 8 datilógrafos comporão 800 páginas, de 28 linhas por página e 45 letras por linha?

Sejam N o número de datilógrafos, D o número de dias de trabalho, H o número de horas por dia, P o número de páginas, L o número de linhas por páginas e l o número de letras por linha. Ora, os produtos

representam, respectivamente, o número total de horas de datilografia e o número total de letras datilografadas. Eles são diretamente proporcionais; logo,

onde k é a constante de proporcionalidade. Substituindo nesta última equação os dois conjuntos de valores dados no problema, obtemos as equações

Daí, eliminando a constante k, obtemos uma equação para determinar D, a qual nos dá D = 18 dias.

Os exemplos acima são suficientes para mostrar ao leitor que todos os problemas propostos nos livros como “regra de três” são aplicações de equações do primeiro grau. Todos podem ser formulados em termos de duas variáveis x e y, ligadas por uma equação do tipo y = kx ou xy = k, onde k é uma constante. Isto é verdade mesmo nos chamados “problemas de regra de três composta”, como os de números 5 e 6 acima, nos quais as duas variáveis são, respectivamente.

E como o leitor deve notar, não há sequer necessidade de tratar separadamente esses problemas de “regra de três composta”, pois eles se encaixam perfeitamente na mesma categoria dos outros, chamados de “regra de três simples” e não há necessidade de usar flechas. Também não é preciso dividir esses problemas em várias etapas. A própria expressão “regra de três composta” é infeliz, pois se envolve mais de três números, como pode ser de “três”?...

Outra observação que desejamos fazer refere-se aos problemas que aparecem nos livros, na sua maioria, de pouco interesse e importância prática. É, pois, altamente desejável encontrar questões interessantes, que despertem e estimulem a curiosidade natural do aluno.

Vamos considerar alguns problemas sobre satélites, que podem ser utilizados para ilustrar relações de proporcionalidade. Eles têm como tema central a chamada “3ª lei de Kepler”, que relaciona os tempos gastos pelos planetas em suas revoluções em torno do Sol e os semi-eixos maiores de suas órbitas.

onde k é a constante de proporcionalidade, a mesma para todos os planetas do sistema solar. Em palavras, a 3ª lei de Kepler diz o seguinte: os quadrados dos tempos gastos pelos planetas em suas revoluções em torno do Sol são proporcionais aos cubos do semi-eixos maiores de suas órbitas.

Embora formulada pela primeira vez para os planetas do sistema solar, esta lei é válida para qualquer sistema solar ou planetário, como é o caso da Terra e seus satélites (a Lua e os satélites artificiais). Isto nos permite formular e resolver problemas como os seguintes.

Problema 7. Calcule o período de revolução de um satélite artificial em órbita circular, a 200 km de altitude, sabendo-se que, aproximadamente, o raio da terra é R₀=6400 km, o período de revolução da Lua é T_L = 27,3 dias e a distância da Terra á Lua é D_L= 60 vezes o raio da Terra.

Seja T o período do satélite e R = R₀ + 200 = 6 400 + 200 = 6 600 km o raio de sua órbita. Como

Problema 8. Calcule a altitude de um satélite da Embratel que permanece “geostacionário”, isto é, como se estivesse parado nos céus do Brasil, ou seja, com um período de revolução de 24 horas, acompanhando a Terra em seu movimento diário.

Usando os dados do problema anterior e designando por R o raio da órbita do satélite, a 3ª lei de Kepler nos permite escrever:

donde obtermos R 42400 km. Este é o raio da órbita do satélite; para obter sua altitude temos de subtrair o raio da Terra, o que nos dá uma altitude de 36 000 km.

O leitor deve notar que T só depende de R na fórmula da 3ª lei de Kepler acima. Em particular, T independe da massa do satélite. Portanto, não importa que massa tenha um determinado satélite, se ele estiver a uma dada distância do centro da Terra, seu período de revolução estará completamente determinado, o que é, de certo modo, surpreendente.

Nos dois problemas anteriores, as órbitas dos satélites são circulares. Mas isto é a exceção, não a regra. Por exemplo, no caso do primeiro satélite artificial lançado pelo homem, o “Sputnik 1”, que os russos puseram em órbita a 4 de outubro de 1957 e que pesava 84 kg, a órbita era uma elipse com perigeu a p = 231 km e apogeu a A = 942 km respectivamente. Deixamos ao leitor a tarefa de calcular o período de revolução deste satélite (que era de 95 minutos).

É possível que algum leitor pense que elipse seja uma figura muito complicada para ensinar o seus alunos, mas isto não é verdade, em absoluto. É claro que o professor deve explicar o que é uma elipse e ensinar seus alunos a desenhar elipses. Outro leitor talvez objete, alegando que o assunto aqui proposto já não mais pertence ao domínio próprio da Matemática. Esta seria também uma posição insensata. O conhecimento não é estanque e sua classificação em diferentes disciplinas é artificial – uma exigência ditada por conveniências didáticas. É da maior importância que os professores das várias disciplinas promovam a “interdisciplinaridade”.

É tão próprio e conveniente que o professor de Matemática mostre aplicações da Matemática às outras ciências, como é próprio e muitas vezes necessário que professores das outras ciências recordem ou expliquem tópicos de Matemática em sua aulas.

E não é isto que faz o professor de Física quando, ao tratar de composição de forças, ensina a seus alunos elementos de Álgebra Vetorial, que é um assunto puramente matemático?

Problemas como os dois últimos acima são relativamente fáceis de serem apresentados pelo professor em classe e se prestam muito bem para motivar e despertar o interesse dos alunos. Que ótima oportunidade tem aí o professor para falar sobre Kepler e as leis planetárias, sobre a elipse e sua importância na tecnologia espacial de hoje, tornando a aula amena, infundindo novo ânimo em seus alunos, despertando e estimulando neles aquela curiosidade natural dos jovens.

Ao propor esses problemas, o professor deve instruir seus alunos a fazer gráficos e observar as dimensões das órbitas relativamente ao raio da Terra. Por exemplo, se um círculo de 6,4 mm de raio representa a Terra, então a órbita do satélite do Problema 7 será uma circunferência de 6,6 mm de raio, praticamente “encostada” na Terra. Já no Problema 8 o satélite da Embratel teria como órbita uma circunferência de 42400¸6400

6,6 vezes o raio da Terra. Portanto, representando a Terra com um círculo de 1 cm de raio, a órbita do satélite será uma circunferência de aproximadamente 6,6 cm de raio.Outros problemas ligados às questões acima podem ser formulados. Por exemplo, usamos o fato de que o mês sideral tem aproximadamente 27,3 dias.

Problema 9. Determine o valor do mês sideral, em dias, sabendo-se que o mês lunar é 29,5 dias.

Para resolver este problema começamos notando que o ângulo a de deslocamento da Terra em sua órbita, contado a partir da posição T (veja Fig. 2) é proporcional ao número D de dias decorridos:

Na posição T”,

assume um certo valor

₀;

assume também o valor de 360 graus depois de 1 ano, isto é, quando D = 365,25 dias. Com estes dois conjuntos de valores na última equação obtemos

Por outro lado, o número de dias D é também proporcional ao ângulo b descrito pela Lua em sua órbita:

Notamos agora que em D dias, representando um mês lunar, a Lua descreve um ângulo

=360 graus, e depois de 29,5 dias, quando ela se encontra em L”, = 360 +

₀. Usando estes dois conjuntos de valores na última equação acima, obtemos

Novamente, dividindo uma equação pela outra, eliminamos a constante k’ e resolvemos a equação em D:

Outros problemas interessantes podem ser propostos, de relevância nas aplicações, mas não vamos descrevê-los agora para não alongar mais este artigo. Podemos, futuramente, voltar ao assunto, mas deixamos aqui nossa sugestão aos leitores para que procurem propor tais problemas.

Ao que tudo indica, a regra de três surgiu na Índia e entrou na Europa através dos árabes. Ela foi muito usada no comércio por vários séculos, porém como simples regra, formulada verbalmente e aplicada de maneira mecânica sem qualquer explicação racional. Eis como o matemático indiano Brahmagupta formulava essa regra no século VII da nossa era: na regra de três os nomes dos termos são Argumento (A), Fruto (F) e Requisição (R). O primeiro termo e o último devem ser semelhantes. Obtém-se o valor procurado multiplicando a Requisição pelo Fruto e dividindo o resultado pelo Argumento.

Nesta formulação, “termos semelhantes” significa “grandezas da mesma espécie”, que deviam ser medidas com a mesma unidade. Como a regra era aplicada mecanicamente, era importante dizer que o primeiro termo e o último (isto é, A e R) eram semelhantes, para saber quais dos três termos deviam figurar como “meios” na proporção

Mas, como dissemos acima, a regra era puramente verbal, nunca expressa por equações ou fórmulas, como estas últimas. Aliás, foi só em fins do século XIV que se reconheceu a ligação da regra de três com as proporções. E saiba o leitor que até o início do século passado a regra de três figurava nos programas de admissão das Universidades de Harvard e Princeton!...

Dissemos, no início deste artigo, que os livros de Matemática usados nos Estados Unidos já não mais incorrem no mesmo arcaísmo de abordagem ainda presente nos livros brasileiros. Aguçados em nossa curiosidade, fomos consultar livros americanos de Aritmética escritos no século passado e lá encontramos a terminologia arcaica – antecedente, conseqüente, terceira e quarta proporcionais, regra de três – com tratamento igualmente antiquado. Em contraste, os livros americanos modernos não usam nem mesmo a expressão “regra de três” (em inglês “rule of three”). A propósito, recentemente um professor universitário americano bastante conhecido celebrou este fato em versos publicados na revista “American Mathematical Monthly” de fevereiro do corrente ano (p. 115) e que reproduzimos a seguir²:

What has become of the rule of three,
Simple or double, once popular pair?
Students today no longer see
Alligation, or tret and tare.

Com estes versos deixamos aqui nossa sugestão de que o nome “regra de três” seja abolido também entre nós.

Mantendo-se a linha esticada e movendo-se o lápis no papel, obtemos uma elipse, já que a soma das distâncias PF_- e PF₊ mantém-se constante. Os pontos F_- e F₊ são chamados focos da elipse e o ponto médio do segmento F_-F₊é o seu centro. Se a reta que passa por F_- e F₊ encontra a elipse nos pontos P_- e P₊, o segmento P_-P₊é o eixo maior da elipse. Se a perpendicular ao eixo maior, pelo centro, encontra a elipse nos P” e P”’, o segmento P”P”’, o segmento P”P”’ é seu eixo menor.

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1}Proposto no Liber Abaci, do ano de 1202. Veja comentário sobre este livro na RPM 6, p. 12.

²Referimo-nos ao Prof. Ralph P. Boas, da “Northwestern University”. Uma tradução destes versos seria:

“Alligation” e “tret”, em inglês, referem-se respectivamente a um antigo processo de resolução de problemas que envolvem misturas de ingredientes de preços ou qualidades diferentes e a uma obsoleta permissão de um acréscimo no peso declarado de algumas especiarias sujeitas a avarias em trânsito, enquanto “tare”, que se pode traduzir por tara, representa o abatimento no peso de mercadorias, atendendo-se ao vaso ou envoltório em que estão acondicionadas.