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Allan de Sousa Soares INTRODUÇÃO O objetivo deste artigo é apresentar a solução via produto de matrizes de um problema comumente atacado utilizando-se os chamados diagramas da árvore: uma “árvore” cujos galhos representam as probabilidades de um dado evento ocorrer condicionado à ocorrência de um outro. A situaÇÃo No ano de 2014, João, um garoto de 14 anos, começou a pensar na carreira profissional que seguiria. Dentre várias opções, estava mais inclinado a seguir a carreira militar. A primeira coisa que fez foi buscar por editais de seleção do ano e de anos anteriores na instituição na qual queria estudar. Ao analisar cuidadosamente o processo seletivo, ele percebeu os seguintes requisitos a serem atendidos pelos candidatos:
João percebeu que o item 3. seria uma espécie de loteria. Para verificar suas chances de satisfazer esse quesito, ele fez um estudo completo do histórico de saúde de algumas pessoas de sua família. Os resultados obtidos por ele foram:
João percebeu que não seria tão fácil saber a possibilidade de não apresentar uma virose em 2018 quando passaria pelo processo seletivo. Enunciando o problema Sabendo que João se enquadra nos padrões genéticos de sua família quanto à predisposição para viroses e que, no presente ano (2014), ele apresentou uma virose, como determinar a probabilidade de ele apresentar uma virose em 2018? Resolvendo o problema Solução 1. Usando diagrama da árvore A princípio, tentaremos prever qual a chance de João apresentar uma virose em cada ano seguinte até 2018. Para tanto, podemos desenhar uma árvore de probabilidades segundo o estudo familiar feito por João. Em cada ano considerado, V indica João com virose e S indica com saúde, isto é, sem viroses.
O estudo “árvore” até 2016 mostrou as probabilidades abaixo.
u seja, se no ano de 2016, por exemplo, João pudesse se inscrever no programa de seleção, ele teria 56% (0,56 = 0,35 + 0,21) de chance de não apresentar qualquer virose. Para resolver o problema, devemos completar o diagrama até 2018, o que seria bastante trabalhoso. Solução 2. Usando matrizes De um modo mais geral, podemos analisar a probabilidade de ocorrência ou não de uma virose num determinado ano, dado que o indivíduo apresentou ou não uma virose no ano anterior. Consideremos a seguinte matriz A = ( aij ), i, j = 1, 2
sendo que:
Na Solução 1, vimos que a probabilidade de João ter saúde em 2016, dado que teve virose em 2014,é 0,3 × 0,7 + 0,7 × 0,5 que é exatamente o elemento a21 da matriz A2. De fato,
O processo pode ser continuado para os anos seguintes. Por exemplo, a probabilidade de que João tenha saúde em 2017 é dada por P(saúde em 2017) = Isso corresponde a multiplicar a 2a linha de A2 (formada por 0,56 e 0,44) pela 1a coluna de A (formada por 0,5 e 0,7), o que fornece o elemento na posição (2,1) de A3. Para encontrar as probabilidades relativas a 2018, é preciso multiplicar uma vez mais pela matriz A. A probabilidade desejada de que João tenha saúde em 2018 está na posição (2,1) da matriz:
Portanto, João tem probabilidade 0,5824 de ficar saudável em 2018. De modo geral, cada elemento bij, i, j = 1 , 2, de B = An é a probabilidade de que, estando no estado i em um certo ano, a pessoa estará no estado j após n anos, onde os valores 1 e 2 indicam, respectivamente, a não ocorrência e a ocorrência de virose. ConsideraÇÕes finais Os cálculos com matrizes deixam de lado o desenho dos “caminhos” possíveis, dando uma maior agilidade no cálculo de probabilidades condicionais. Modelos probabilísticos como esse, em que são especificadas as probabilidades de passagem de um estado para outro em cada passo, são chamados de Cadeias de Markov. O leitor pode encontrar mais sobre o assunto nos livros abaixo.
HOWARD, Anton. Álgebra linear com aplicações. 10 ed. Porto Alegre; Bookman, 2012. ALBUQUERQUE, J.P.A. ; FORTES, J.M.P. ; FINAMORE, W.A. Probabilidade, variáveis aleatórias e processos estocásticos. Rio de Janeiro, PUC.
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