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Moacir Rosado Filho A maioria dos problemas de otimização requerem a utilização de técnicas do Cálculo Diferencial para serem resolvidos. No nível do ensino médio, os problemas de otimização normalmente abordados em sala de aula são aqueles que podem ser modelados por funções quadráticas. Porém, alguns problemas que naturalmente conduziriam a uma resolução envolvendo Cálculo podem ser resolvidos no contexto do ensino médio, usando desigualdades adequadas. Exemplos desses tipos de problemas são aqueles que podem ser resolvidos usando a célebre desigualdade entre as médias aritmética e geométrica. A RPM apresentou em [1] alguns problemas de otimização que podem ser resolvidos usando essa desigualdade e em [2] são apresentadas várias técnicas elementares para resolver problemas de otimização, evitando-se o uso do Cálculo. Neste texto apresentaremos e demonstraremos uma desigualdade trigonométrica que será aplicada à resolução de um interessante problema de otimização envolvendo navegação de um barco a vela. A desigualdade trigonomÉtrica Se α, β e γ são ângulos tais que 0° ≤ α, β, γ ≤ 180°, então
valendo a igualdade se e somente se α = β = γ . O problema: ziguezagueando um barco a vela contra o vento Vamos colocar o problema e resolvê-lo usando a desigualdade trigonométrica enunciada. Na próxima seção, apresentaremos uma demonstração dessa desigualdade.
Suponhamos que o vento esteja soprando, com velocidade constante, a partir do norte, por exemplo, na direção e sentido do vetor (segmento de reta orientado)
Se a força do vento é dada pelo vetor Como se deseja maximizar a velocidade resultante do barco em direção ao norte, é necessário considerar a componente para o norte da velocidade, que tem módulo proporcional a
Usando a desigualdade trigonométrica enunciada no início do artigo, tal máximo é igual a
o qual ocorre quando
já que a soma dos três ângulos é igual a 90°. Assim, para maximizar a velocidade do barco para o norte, escolhe-se o curso de navegação formando ângulo de 60° com a direção norte e escolhe-se a direção da vela como sendo a da bissetriz do ângulo entre a direção norte e a direção do curso. Para ir de um ponto P a outro ponto Q ao norte, o barco deve efetuar um movimento em zigue-zague, como na figura 2.
A demonstraÇÃo da desigualdade trigonomÉtrica Passo 1: considerando dois ângulos Resultado 1 Se 0° ≤ α, β ≤ 180°, então senα senβ ≤ sen2 E vale a igualdade se e somente se α = β. Demonstração: Vamos usar a conhecida fórmula de prostaférese. senα + senβ = 2sen De 0° ≤ α, β ≤ 180°, temos 0° ≤ logo, senα + senβ ≤ 2sen Então, (senα + senβ)2 ≤ 4sen2 4senα senβ ≤ (senα + senβ)2, pois 4ab ≤ (a + b)2 para quaisquer a e b reais, temos demonstrada a
desigualdade senα senβ ≤ sen2 Resta mostrar a condição para a igualdade. Se α = β, é fácil ver que vale a igualdade. Por
outro lado, se senα senβ = sen2 Passo 2: considerando quatro ângulos Resultado 2 Se 0° ≤ α, β, γ, δ ≤ 180°, então senα senβ senγ senδ ≤ sen4 E vale a igualdade se e somente se α = β = γ = δ. Demonstração: Inicialmente, vamos supor que α = β = γ = δ. Então senα senβ senγ senδ = sen4α = sen4 Vamos agora supor que os quatro ângulos não são todos iguais. Podemos, sem perda de generalidade supor que α ≠ β . Então, pelo Resultado 1, temos: senα senβ < sen2 Aplicando o Resultado 1 duas vezes, primeiro para os pares α, β e γ, δ e depois para o par
obtemos
Ou seja, se os quatro ângulos não forem todos iguais, teremos
Isso completa a demonstração do Resultado 2. Passo 3: considerando três ângulos Resultado 3 Se 0° ≤ α, β, γ ≤ 180°, então senα senβ senγ≤ sen3 E a igualdade vale se e somente se α = β = γ. Demonstração: Seja
E, pelo Resultado 2, a igualdade vale se e somente se
Se α = β = γ = 0 ou α = β = γ = 180°, o resultado vale trivialmente; logo, podemos supor OBSERVAÇÃO O que fizemos com a função seno é, na verdade, um caso particular de um resultado mais geral, conhecido como Desigualdade de Jensen, cujo enunciado está abaixo. Desigualdade de Jensen Sejam I ⊂ ℝ um intervalo e f : I → ℝ uma função tal que f(x) > 0 para todo x∈I . Suponha que para todos x1 ,x2 ∈I , com a igualdade valendo se e somente se x1 = x2 . Então
para todos x1 ,x2 , ... ,xn ∈I ,com a igualdade valendo se e somente se x1 = x2 = ... = xn.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] ARAÚJO, F. H. A. de. Médias e problemas de otimização, RPM 76, ano 2011. [2] NIVEN, I. Maxima and minima without calculus. The Mathematical Association of America, 1981. [3] DÖRRIE, H. 100 Great Problema of Elementary Mathematics, New York: Dover, 1965. [4] FOMIN, D.; GENKIN, S.; ITENBERG, I. Círculos Matemáticos: a experiência russa, IMPA, 2010.
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da figura 1. O barco se move na direção e sentido do vetor 
, sendo que essa direção e sentido podem ser fixados pelo velejador, usando o leme e a quilha. O vetor 
, que pode ser controlada pelo velejador, sendo que a força do vento é transmitida ao barco pela vela de modo que o barco navega na direção e sentido do vetor 
, o impulso do vento sobre a vela é dado pela componente de 
, sendo F o módulo de 
. Essa última componente da força é a que realiza o efetivo impulso sobre o barco. Como a velocidade do vento é constante, a velocidade do barco fica proporcional a 
.
.
.
e apliquemos o
Resultado 2 para α, β, γ e δ. Então
Nesse caso, basta dividirmos
ambos os membros da desigualdade anterior por 
para completar a demonstração do
Resultado 3.
,