 |
|
|
|||
 |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|||||
Evandro Felipe Rosa de Paula
A resposta é tudo, ou quase tudo. Claro que não posso traçar uma reta apenas com o compasso, mas posso, apenas com esse instrumento, obter dois de seus pontos e depois, quando tiver uma régua, efetuar o traçado dessa reta. A questão do que se pode construir com régua e compasso é uma das questões difíceis que a Matemática se propôs. Embora seja possível construir um segmento cuja medida é raiz quadrada de 2 (basta tomar a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos de medida 1), existem segmentos que não podem ser construídos, por exemplo, o de medida igual à raiz cúbica de 2. Mas vamos deixar de lado essa questão muito abstrata e retornemos ao nosso problema original. Se não tenho régua, o que posso construir apenas com o compasso? Se nos contentarmos com o fato de que a reta está bem determinada quando obtidos dois de seus pontos, a resposta é absolutamente inesperada e tem uma história bastante interessante. Vejamos. Teorema de Mohr-Mascheroni
A chamada geometria do compasso teria tido a atenção de Napoleão Bonaparte, que propôs aos matemáticos franceses Lagrange e Laplace o problema de dividir uma circunferência em quatro arcos iguais utilizando apenas o compasso. Em 1797, o matemático italiano Lorenzo Mascheroni (1750-1800) publica seu trabalho Geometria del compasso, dedicado a Napoleão, no qual ele prova o teorema. No entanto, em 1928 é encontrado em um “sebo” na Dinamarca uma cópia do livro Euclides Danicus de autoria de Georg Mohr (1640-1697), publicado originalmente em 1672, onde também se encontra uma demonstração do mesmo resultado. Uma situação que parece não ser rara em Matemática: resultados são obtidos e perdidos ao longo do tempo, sendo redescobertos anos depois da primeira demonstração. Voltando ao nosso tema, como se mostra a equivalência entre régua e compasso e apenas compasso? Pontos adicionais em construções com régua e compasso são obtidos como interseção de duas retas, uma reta e uma circunferência ou duas circunferências. Se pudermos mostrar como esses pontos podem ser obtidos apenas com o compasso, a equivalência ficará estabelecida. Baseado, em grande parte, na ideia de simetria em relação a uma reta, Mascheroni apresentou construções para tais pontos de interseção juntamente com soluções para vários problemas de construção. Outro belo desenvolvimento, baseado na ideia de inversão, foi descrito por Jakob Steiner em 1824. Uma prova bastante elegante do teorema de Mohr-Mascheroni pode ser encontrada em [1]. A título de exemplo, apresentaremos a solução, apenas com compasso, de um clássico problema de construções geométricas. Observamos que na RPM 77 (ver [2]) há um outro exemplo de construção apenas com compasso. Problema
Inicialmente determina-se a mediatriz de AB, traçando: a circunferência K1 que passa pelo ponto B e tem centro no ponto A e a circunferência K2 que passa por A e tem centro em B. Os pontos C e D na interseção dessas circunferências determinam a mediatriz do segmento AB (figura 1).
Traçar agora uma circunferência K3 com centro no ponto D e que passa pelo ponto C, obtendo o ponto E na interseção da circunferência K2 com K3. Em seguida, traçar a circunferência K4 que passa por A e tem centro em E, obtendo os pontos F e G na interseção das circunferênciasK4 eK1 (figura 2).
Finalmente, na interseção das circunferências K5, que passa por A e tem centro F, e K6, que passa por A e tem centro G, obtém-se, além do ponto A, o ponto médio M do segmento AB (figura 3).
A justificativa da construção apresentada segue na demonstração abaixo. Observe que os raios das circunferências K1, K2, K5 e K6 são todos iguais, digamos r1, e que o raio r2 da circunferência K4 é o dobro de r1, ou seja, r2 = 2r1. Note que os pontos A, B e E são colineares (por quê?). Logo, os triângulos AFM e AEF são isósceles, com os ângulos das bases congruentes (figura 4) e, portanto, são semelhantes. Dessa forma, tem-se a relação:
Portanto,
Como A, M e E são colineares, pois pertencem à mediatriz de FG, conclui-se que M é o ponto médio do segmento AB.
Nota Utilizando a capacidade do software Geogebra, criamos um blog (ver [3]) onde são feitas de forma sequencial algumas construções clássicas com o uso apenas do compasso: encontrar o centro desconhecido de uma circunferência dada; inscrever um quadrado numa circunferência; construir a raiz quadrada da medida de um segmento; obter a quarta proporcional de três segmentos dados; resolver geometricamente uma equação do segundo grau; dividir um arco de circunferência ao meio; traçar a bissetriz de um ângulo; traçar retas paralelas; encontrar a interseção de duas retas. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] HUNGERBÜHLER, N. A short elementary proof of the Mohr-Mascheroni theorem. The American Mathematical Monthly, v. 101, n. 8, outubro 1994. [2] MELLO, J. L. P. O centro desaparecido de uma circunferência. Revista do Professor de Matemática (RPM) no 77, SBM, 2012. [3] PAULA, E. F. R. Construções geométricas utilizando apenas o compasso implementadas no ambiente Geogebra. Disponível em:<http://construcoes-so-com-compasso. blogspot.com.br>. Acesso em: 09 dez. 2014.
|
