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GEOMETRIA ESPACIAL COM GEOGEBRA
Lenimar Nunes de Andrade INTRODUÇÃO O famoso programa GeoGebra, a partir da sua recente versão 5.0, pode ser usado como uma valiosa ferramenta nos estudos de geometria espacial. Com ele, diversos sólidos, superfícies e curvas tridimensionais podem ser construídos sem dificuldade, assim como ocorre com o cálculo de seus comprimentos, áreas, volumes e interseções. O GeoGebra está disponível gratuitamente na internet e pode ser copiado a partir do endereço www.geogebra.org. Em razão da importância e da disponibilidade desse programa, o presente artigo fará uma breve explanação sobre os novos recursos, novos comandos e objetos tridimensionais acrescentados recentemente. Diversas atividades são propostas e podem ser realizadas em sala de aula. VISUALIZAÇÃO DE OBJETOS TRIDIMENSIONAIS No GeoGebra, há várias janelas de visualização disponíveis. Uma delas é a Janela de visualização 3D,
a qual, como o título já diz, deve ser usada para visualização de objetos tridimensionais tais como planos,
A configuração padrão da Janela de Visualização 3D inclui uma caixa, três eixos x, y e z e um plano x0y. Essa configuração pode ser alterada ao gosto do usuário. Se for dado um clique com o botão direito do mouse, aparecerá uma pequena janela intitulada “Janela de Visualização 3D” com opções de alteração. Nessa janelinha aparece uma opção “Janela de Visualização” que leva a muitas opções de configuração.
Para eliminar a caixa da janela de visualização, deve-se desmarcar a opção “Habilitar clipping”. As partes dos objetos que não couberem dentro dessa caixa não são mostradas, a não ser que a opção “Usar clipping” seja desmarcada. Na parte superior da tela, logo abaixo da linha no menu principal, aparece uma barra de ferramentas formada por vários ícones, cada um correspondendo a um determinado tipo de ação do programa. Ao se clicar na maioria desses ícones, tem-se acesso a outras opções. Por exemplo, o nono ícone da esquerda para a direita dá acesso à seguinte lista:
DESENHANDO E MOVENDO PONTOS Ao se pressionar no segundo ícone da barra intitulado “Ponto”, pode-se desenhar pontos na janela de visualização clicando-se com o mouse em cima de um plano tal como o plano x0y, que é mostrado como padrão. Nessa hora, o indicador do mouse assume o formato de um “x” e, ao se clicar, é definido um ponto naquela posição. É possível também marcar um ponto em cima de uma reta ou da aresta de um polígono. Um ponto também pode ser definido através de suas coordenadas x, y e z. Para isso, basta digitar o nome do ponto e suas coordenadas entre parênteses na janela de entrada, na parte de baixo da tela. Por exemplo, um ponto P localizado no eixo z, a uma altura de 4 unidades, pode ser definido escrevendo P = (0, 0, 4) nessa janela. Há dois movimentos permitidos para um ponto previamente definido: ao longo de uma reta (modo eixo z) ou ao longo de um plano (modo eixo x0y). Deve-se dar um ou dois cliques no ponto para se definir o modo de movimento. Nessa hora aparecem em torno do ponto as setas
e elas identificam o tipo de movimento permitido. O último ícone da barra de ferramentas dá acesso a um menu onde são permitidas várias operações de visualização, tais como girar, mover, ampliar ou reduzir a janela de visualização 3D. NOVOS COMANDOS Em geral, os diversos objetos tridimensionais podem ser definidos de duas maneiras: usando os RETAS E PLANOS Reta[ponto1, ponto2] Reta que passa por dois pontos. Reta[ponto, reta] Reta paralela a outra e que passa por
um ponto dado. Plano[ponto1, ponto2, ponto3] Plano que passa por
três pontos. Plano[reta1, reta2] Plano que passa por duas retas. Plano[polígono] Plano que contém um polígono. Plano[ponto, plano] Plano que passa por um ponto eé paralelo a outro plano. Plano[ponto, reta] Plano que passa por um ponto e por
uma reta. PRISMAS E PIRÂMIDES Prisma[ponto1, ponto2, …] Prisma cujos vértices são
dados, o último vértice em uma base diferente de base
dos outros. Prisma[polígono, ponto] Prisma com base definida
por um polígono e um vértice da outra base. Prisma[polígono, altura] Prisma com base e altura dadas. Pirâmide[ponto1, ponto2] Pirâmide com os vértices
dados. Pirâmide[polígono, ponto] Pirâmide com base definida por um polígono e vértice dado. Exemplo: Pirâmide[pol1, V]. Pirâmide[polígono, altura] Pirâmide com base e altura
dadas. CILINDROS E CONES Cilindro[curva, altura] Cilindro com base e altura dados. Cilindro[ponto1, ponto2, raio] Cilindro circular com
centros das bases e raio dados. CilindroInfinito[reta, raio] Cilindro circular ilimitado
com eixo central e raio dados. Cone[círculo, altura] Cone circular com base e altura
dados. Cone[ponto1, ponto2, raio] Cone circular com base
de centro no primeiro ponto, vértice no segundo ponto e
raio dados. Cone[ponto, reta, ângulo] Cone circular ilimitado com
centro da base, eixo central e ângulo (em radianos) entre o
eixo e uma geratriz dados. ConeInfinito[ponto1, ponto2, ângulo] Cone circular
ilimitado com centro da base, eixo central e ângulo entre o
eixo e uma geratriz dados. ESFERAS Esfera[ponto, raio] Esfera com centro e raio dados. Esfera[ponto1, ponto2] Esfera com centro no primeiro ponto e que passa pelo segundo. SÓLIDOS DE PLATÃO Cubo[ponto1, ponto2] Cubo com aresta definida pelos
pontos dados. Tetraedro[ponto1, ponto2] Tetraedro com aresta definida
pelos pontos dados. Octaedro[ponto1, ponto2] Octaedro com aresta definida
pelos pontos dados. Dodecaedro[ponto1, ponto2] Dodecaedro com aresta
definida pelos pontos dados. Icosaedro[ponto1, ponto2] Icosaedro com aresta definida
pelos pontos dados. Esses comandos dos sólidos de Platão constroem o
sólido com umas das faces paralelas ao plano x0y, a não
ser que seja fornecido um terceiro parâmetro que possa
ser usado para se obter a direção de uma face. SUGESTÕES DE ATIVIDADES A seguir, forneceremos vários exemplos de utilização
do programa que podem ser usados como RETAS E REVERSAS Inicialmente, exploramos o conceito de retas reversas, observando duas retas em diferentes posições. Para isso: – Eliminamos os eixos da janela de visualização (basta pressionar com o botão direito do mouse na janela e dar um clique em “Eixos”) – Construímos dois planos: um é o plano z = 0 (que já aparece na tela de início) e o outro é o plano x = 0. Para isso, basta digitar na janela de entrada suas equações. – Selecionamos a opção – Selecionamos – Selecionamos a opção
PIRÂMIDE E PRISMA -ALTURAS E VOLUMES Neste exemplo, construímos uma pirâmide e um prisma de mesma base e mesma altura. Observamos nas relações entre seus volumes (que aparecem na “Janela de Álgebra”), que um é o triplo do outro. Podemos observar também que, quando os vértices se deslocam mantendo-se a mesma altura de cada sólido, os volumes não variam. – Definimos um plano de altura 4. Para isso, basta escrever a equação z = 4 na janela de entrada. – Desenhamos um polígono no plano de base (z = 0), por exemplo um quadrilátero ABCD. Para isso, bata usar a opção – Definimos dois pontos E e F pertencentes ao plano
z = 4. Para isso, usamos a opção – Desenhamos uma pirâmide de base ABCD e vértice
E. Para isso, digitamos o comando Pirâmide[A, B,
C, D, E] na janela de entrada ou usamos a opção – Desenhamos um prisma de base ABCD e um dos
vértices como sendo o ponto F. Para isso, basta digitar
Prisma[A, B, C, D, F] na janela de entrada ou
usar a opção – Depois de construídos, podemos mover os pontos E ou F à vontade e verificar que os volumes do prisma e da pirâmide não mudam de valor, pois a altura (que é a distância entre os planos e igual a 4) não varia.
CUBO - ÁREAS, DIAGONAIS E PLANIFICAÇÃO Neste exemplo, desenhamos um cubo e exploramos alguns conceitos como volume, áreas das faces, comprimentos das arestas, comprimentos de diagonais e planificação. – Eliminamos da janela de visualização os eixos, o plano x0y e a caixa de “clipping” que são mostrados no início. Para isso, basta clicar na janela com o botão direito do mouse e alterar a configuração. – Definimos dois pontos A e B. Isso pode ser feito de duas maneiras: usando a opção “Ponto” da barra de ferramentas ou digitando-se as coordenadas de cada ponto na janela de entrada: A = (0, 0, 0) e B = (4, 0, 0), por exemplo. – Desenhamos um cubo de aresta AB. Para isso, podemos
usar a opção – Desenhamos a planificação desse cubo, ou seja,
sua área total. Pode ser usada a opção – Depois de definido um sólido (como o cubo), podemos
calcular seu volume e todas as suas áreas e
comprimentos. Para isso, podemos observar esses
valores que aparecem na Janela de Álgebra ou usar
as opções – Podemos calcular o comprimento de diagonais, bastando defini-la como um segmento do sólido e calcular seu comprimento.
INTERSEÇÕES DE UM CONE COM UM PLANO Neste exemplo, visualizamos as interseções de um plano com um cone e podemos verificar que elas são as curvas conhecidas como “cônicas”. – Selecionamos – Na janela de entrada, digitamos o comando ConeInfinito[A, B, 0.5] para desenhar um cone com eixo AB e ângulo entre o eixo e uma geratriz de 0.5 radianos. – Selecionamos – Selecionamos – Selecionamos – Selecionamos
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“Ponto” na barra de ferramentas
e marcamos três pontos A, B, C em um
plano e um ponto D no outro plano.
“Reta” na barra de ferramentas
e clicamos em A e B para definir a reta AB e, depois,
em C e D para definir a reta CD.
“Girar janela de visualização
3D” na barra de ferramentas e, com o mouse,
giramos a caixa da janela de visualização e observamos
que as retas AB e CD não são paralelas, nem
coincidentes nem concorrentes. Logo, são reversas.
“Polígono” da barra
de ferramentas e marcar os pontos. Deve-se fechar
o polígono clicando em cima do primeiro ponto
marcado.
“Ponto em
objeto” da barra de ferramentas e clicamos em duas
posições no plano.
“Pirâmide” da barra de ferramentas.
“Prisma” da barra de ferramentas.
“Cubo” da barra de ferramentas
e clicar nos pontos A e B ou digitar o comando
Cubo[A, B] na janela de entrada. Podemos
alterar as propriedades (cores, etc.) do cubo clicando
com o botão direito do mouse.
“Planificação” da barra de ferramentas ou um comando
Planificação[nome, número] na janela de entrada,
onde “nome” é o nome do cubo desenhado e “número” é um valor de 0 a 1 e que corresponde à posição
do desenho do cubo planificado. Por exemplo,
Planificação[a, 0.5] desenha a planificação “a meio
caminho”, enquanto que Planificação[a, 1] desenha a
planificação completamente no plano da base do cubo.
“Distância, Comprimento ou Perímetro”, 
“Área”, 
“Volume” da barra de ferramentas,
ou digitar na janela de entrada comandos
como Comprimento [arestaAB], Área[faceCDHG]
ou Volume[a].
"Ponto” na barra de ferramentas
e marcamos três pontos A e B.
“Plano por três pontos” na
barra de ferramentas e clicamos nos pontos C, D,
E. Com isso, é desenhado o plano que passa por
esses pontos.
“Interseção de Duas Superfícies” e clicamos no cone e no plano. Depois, clica mos com o botão direito do mouse na interseção
obtida e alteramos suas propriedades, aumentando
a espessura da linha.
“Mover”, clicamos em um dos
pontos A, B, C e movemos o ponto selecionado ao
longo da janela e observamos as modificações na interseção.
Dependendo da posição do plano com relação ao
cone, podemos obter uma elipse, uma parábola ou
uma hipérbole.