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A crescente popularização da internet tem ampliado o contato dos professores de Matemática com questões de vestibulares, concursos e olimpíadas. Muitas dessas questões apresentam bom potencial de discussão com os alunos em sala de aula. Por exemplo, há situações em que é possível propor uma resolução diferente daquela que foi amplamente comentada e divulgada na rede ou nos livros e apostilas. Em outros casos, é possível que a questão trate do caso particular de uma situação mais geral, o que também pode ser discutido com os alunos.

O propósito desta nova seção da RPM é o de abrir espaço para que os leitores enviem questões que acharem interessantes e que comportem comentários e sugestões de atividades para sua discussão em sala de aula.

Para a inauguração da seção, escolhemos uma questão do vestibular de 2008 da Universidade Federal de Minas Gerais, que vem a seguir.

QUESTÃO 1

(UFMG-2008) Nesta figura, está representado um quadrado de vértices ABCD:

Sabe-se que as coordenadas cartesianas dos pontos A e B são A = (0, 0) e B = (3, 4). Então, é correto afirmar que o resultado da soma das coordenadas do vértice D é

a) – 2 b) – 1 c) – 1/2 d) – 3/2

Comecemos a discussão com uma pergunta: de que conteúdo trata essa questão?

Se a resposta for “geometria analítica”, possivelmente o encaminhamento dado a ela será semelhante àquele que foi amplamente divulgado na internet, como mostramos a seguir:

Como ABCD é um quadrado, temos:

Posto que BD é diagonal do quadrado, segue

conclui-se que a = – 4 e b = 3.

Então, a + b = – 1 e a resposta correta é b).

Por outro ponto de vista que não o da geometria analítica, e é aqui que queremos chamar a atenção do leitor, o problema pode ser resolvido de pelo menos duas outras formas, uma delas usando números complexos, e a outra por geometria sintética (sem o uso de coordenadas), como veremos adiante.

No plano Argand-Gauss, chamemos B de z1 = 3 + 4i e D de z2 = a + bi. Observe, na figura do enunciado da questão na prova, que o vetor é o vetor rotacionado de 90° em sentido anti-horário. Ocorre que a rotação de um número complexo z por um ângulo θ é

z(cos θ + i sen θ),

como discutido no artigo A Geometria e o ensino dos números complexos, publicado na RPM 55. Usando esse resultado, temos:

z2 = z1(cos 90° + i sen 90°) = z1(0 + i) = (3 + 4i)i.
z2 = – 4 + 3i.

Segue a = – 4 , b = 3 e a + b = – 1.

Explorando um pouco mais o uso dos complexos, podemos também determinar as coordenadas do ponto C, pois, se C é o afixo de um complexo z, então, por ABCD ser um quadrado, temos

z = z1 + z2 = 3 + 4i + (– 4 + 3i) = – 1 + 7i,

logo, C = (– 1, 7).

Em geral, problemas geométricos que de alguma forma tratam de rotação, como o que acabamos de analisar, costumam ter resolução mais simples por meio dos números complexos do que da geometria analítica, e essa é uma ótima discussão para se fazer em classe com os alunos.

Ocorre, ainda, que o fato de o problema proposto ter sido ambientado em coordenadas não deve ser tomado como um empecilho à sua resolução por meio da geometria sintética. No problema em questão, a solução sintética nos parece ser a mais direta e elegante, bastando que se perceba na figura a congruência dos triângulos PAB e QDA:

Os ângulos são congruentes, pois são formados por semirretas perpendiculares. O mesmo ocorre com os ângulos Como ABCD é um quadrado, temos sso mostra a congruência dos triângulos PAB e QDA pelo caso ALA.

Então, segue e logo, D = ( – 4, 3).

 

 

Para os próximos números da RPM contamos, para esta seção, com a colaboração dos leitores por meio do envio de problemas e propostas de discussão em sala de aula.