Paulo Sérgio Argolo
Paulo Sérgio Argolo é professor de Matemática aposentado,
mas em plena atividade como torcedor do seu
querido Botafogo de Futebol e Regatas.

INTRODUÇÃO

O Campeonato Brasileiro de Futebol (série A), conhecido popularmente como Brasileirão, é disputado anualmente por 20 clubes. Cada clube enfrenta duas vezes (há turno e returno) todos os seus 19 adversários e obtém 3 pontos por vitória e 1 ponto por empate. Os quatro primeiros colocados terão vaga garantida, no ano seguinte, na Taça Libertadores da América; enquanto os quatro últimos colocados serão rebaixados, isto é, disputarão, no ano seguinte, a série B do Campeonato, e não a série A. Recorre-se a um critério de desempate (mais vitórias, melhor saldo de gols, etc.), para decidir a classificação, quando dois ou mais clubes têm a mesma pontuação no Campeonato. Esse formato do Brasileirão está em vigor desde 2006.

Surgem, naturalmente, algumas indagações numéricas. Por exemplo, qual é o número mínimo de pontos que assegura a um clube:

I. a classificação entre os 4 primeiros colocados?
II. não terminar o Campeonato entre os quatro últimos colocados?
(Em ambos os itens, admite- se que o Campeonato ainda vai se iniciar.)

A pontuaÇÃo mÁxima

Apresento, a seguir, uma maneira de solucionar as questões propostas.

Para tal, provarei que um clube, ao terminar o Campeonato na n-ésima posição (2 ≤ n ≤ 19), só atingirá a pontuação máxima possível para a posição, que indicarei por p(n), caso os resultados dos jogos satisfaçam duas condições:

a. Os n primeiros colocados vençam, duas vezes, todos os demais (20 – n) clubes que se classificarem abaixo da n-ésima posição.
b. Não haja empates nos jogos entre os n primei ros colocados e os pontos obtidos nesses jogos sejam igualmente distribuídos. (Isso é perfeita mente possível: basta que cada um desses n clubes vença os demais uma única vez.)

Chamarei de etapa A e etapa B os jogos correspondentes às condições a. e b., respectivamente, e usarei a(n) e b(n) para indicar o número de pontos que o n-ésimo colocado obterá nas etapas A e B, respectivamente, caso as condições descritas sejam cumpridas.

Assim, estou afirmando (mostrarei adiante) que a pontuação máxima do n-ésimo colocado será dada por:

p(n) = a(n) + b(n)

De fato:
Suponhamos que um clube X termine o Campeonato entre os n primeiros colocados, sem vencer duas vezes os demais (20 – n) clubes que ficaram abaixo da n-ésima posição.

Nesse caso, para alcançar a pontuação p(n), X teria que obter, na etapa B, mais do que b(n) pontos. Observemos que a soma e, portanto, a média dos pontos obtidos pelos n primeiros colocados na etapa B é máxima quando não há empates entre eles e, nesse caso, essa média é igual a b(n).

Assim, se X obtiver mais do que b(n) pontos, pelo menos um dos n primeiros colocados receberia, nessa etapa , menos do que b(n) pontos e, portanto, sua pontuação total no Campeonato seria inferior a p(n). Logo, o n-ésimo colocado terminaria o Campeonato com pontuação inferior a p(n).

Se X não alcançar a pontuação p(n), pode-se afirmar, obviamente, que o n-ésimo colocado não alcançará essa pontuação.

Caso a condição b. não fosse cumprida, então:

– ou haveria empates e a soma dos pontos obtido pelos n primeiros colocados na etapa B seria menor do que a máxima possível;
– ou não haveria empates e algum clube ganharia um número menor do que a média na etapa B.

Em qualquer caso, pelo menos um dos n primeiros colocados receberia, na etapa B, menos do que b(n) pontos e, portanto, não poderia atingir a pontuação p(n) ao término do Campeonato. Assim, o último dos n primeiros colocados (o n-ésimo colocado) terminaria o Campeonato com menos de p(n) pontos.

Portanto, a pontuação obtida pelo n-ésimo colocado no Campeonato só será a máxima possível caso as condições a. e b. ocorram.

CÁLCULO DA PONTUAÇÃO MÁXIMA DO n-ÉSIMO COLOCADO

Na etapa A, o n-ésimo colocado obtém 2(20 – n) vitórias. Logo:

a(n) = 3.2(20 – n) = 120 – 6n (1)

Na etapa B, o total de jogos é o dobro do número de combinações simples de n elementos, tomados 2 a 2, ou seja:

Haverá, portanto, 3n(n – 1) pontos para serem igualmente distribuídos entre os n primeiros colocados.

Assim,

Nessa etapa, portanto, o n-ésimo colocado obtém (n – 1) vitórias, o que confirma o parêntese da condição b..

De acordo com os resultados (1) e (2), a pontuação máxima do n-ésimo colocado será então:

p(n) = a(n) + b(n) = (120 – 6n) + (3n – 3 ) =
= 117 – 3n (n é natural e 2 ≤ n ≤ 19).

Nota-se claramente que p(n) é obtido com (39 – n) vitórias. Não ocorrem empates.

Percebe-se ainda que a fórmula obtida funciona também quando n = 1 (só haverá a etapa A) ou quando n = 20 (só haverá a etapa B) e, assim, pode-se escrever:

p(n) = 117 – 3n , com 1 ≤ n ≤ 20. (3)

respostas Às indagaÇÕes iniciais

I. Fazendo n = 5 na fórmula (3):

p(5) = 117 – 3.5 = 102.

Assim, o 5° colocado terá, no máximo, 102 pontos e, portanto, a pontuação mínima que assegura a um clube classificar-se entre os quatro primeiros colocados é 103. E essa pontuação (103) pode ser obtida, como não é difícil ver.

II. Fazendo n = 17 na fórmula (3):

p(17) = 117 – 3. 17 = 117 – 51 = 66.

Assim, o 17° colocado terá, no máximo, 66 pontos e, portanto, o número mínimo de pontos que garante a um clube não terminar entre os quatro últimos colocados é 67. Essa pontuação (67) pode de fato ser obtida, como é simples notar.

consideraÇÕes finais

Cabe observar que p(1), p(2), p(3), ... , p(20) formam, nessa ordem, uma progressão aritmética de razão – 3: (114, 111, 108, ... , 57). De fato,

p(n + 1) – p(n) =
[117 – 3(n + 1)] – (117 – 3n) = – 3, 1 ≤ n ≤ 19.

Observe também que p(1) é o dobro de p(20).

Convém notar que a ocorrência de pontuação máxima na n-ésima posição, ao término do Brasileirão, significaria que todos os n primeiros colocados teriam a mesma pontuação p(n). Portanto, seria necessário recorrer aos critérios de desempate para se decidir a classificação final.

Finalmente, é interessante notar que os valores obtidos anteriormente correspondem a uma combinação específica de resultados pouco prováveis de serem observados na realidade. Em consequência, os números de pontos obtidos pelo 5° e pelo 17° colocados têm sido substancialmente menores que os valores máximos de 102 e 66 obtidos na análise acima, como mostra a tabela a seguir.