Rudimar Luiz Nós
UTFPR
Olga Harumi Saito
UTFPR
Carlos Alberto Maziokezi de Oliveira
CPM, PR

INTRODUÇÃO

Neste artigo, vamos apresentar o teorema de Stewart e sua demonstração, motivando esse estudo com o problema do cálculo do raio da circunferência inscrita em uma arbelos. Em Geometria, arbelos é uma região plana delimitada por uma semicircunferência de diâmetro D e duas semicircunferências de diâmetros d e D – d, como mostra a figura a seguir. Acredita-se que Arquimedes tenha sido o primeiro a estudar suas propriedades matemáticas na obra Book of Lemmas. Em grego, arbelos significa "faca de sapateiro" porque se assemelha à lâmina de uma faca usada por sapateiros desde a antiguidade até os dias atuais ([4]). Nas páginas seguintes há figuras ilustrando a faca do sapateiro, bem como uma escultura na forma de arbelos existente na Holanda.

Vamos utilizar, como já mencionamos, o teorema de Stewart para relacionar os raios r₁ e r₂ de uma arbelos com o raio r da circunferência nela inscrita ([1]) e também para provar dois resultados propostos em [3].

Mas, antes disso, vamos ao teorema de Stewart.

o teorema de stewart

Matthew Stewart (1717-1785), matemático escocês, foi aluno de Colin Maclaurin na Universidade de Edimburgo, assumindo a cadeira deste em 1747. Sua obra mais conhecida é Some general theorems of considerable use in the higher parts of Mathematics, cuja contracapa está reproduzida na página seguinte.

Nessa obra, ele apresenta, na Proposição II, a relação entre as medidas dos lados de um triângulo e uma ceviana qualquer, conhecida hoje como teorema de Stewart ([3]).

Teorema de Stewart: Dados um triângulo ABC e um ponto D do lado AB, vale a relação

a²n + b²m – d²c = cmn

sendo a, b e c as medidas dos lados BC, AC e AB, respectivamente, d a medida da ceviana CD e m e n as medidas dos segmentos determinados pela ceviana CD no lado AB.

Demonstração: Supondo o ângulo B agudo, como na figura, seja k a projeção da ceviana CD sobre o lado AB. No triângulo BDC , valem as relações:

a² = (m – k)² + h² e h² = d² – k², logo,
a² = m² + d² – 2mk. (1)

Procedimento análogo no triângulo CDA leva a

b² = n² + d² + 2nk. (2)

Multiplicando (1) por n e (2) por m, obtemos:

a²n = m²n+ d2n– 2mnk,
b²m = n²m + d²m + 2 mnk.

Como m + n = c, temos:

a²n + b²m – d²c = cmn,

que é a igualdade que queríamos provar.

Uma demonstração análoga pode ser feita no caso de o ângulo B ser obtuso ou reto.

Resolvendo o problema Da arbelos

Dada a arbelos da figura abaixo, vamos relacionar os raios r₁ e r₂ com o raio r da circunferência inscrita na arbelos.

Vamos considerar o triângulo ABC cujos vértices são os centros das semicircunferências de raios r1 e r2 e o centro da circunferência inscrita, de raio r. As medidas dos lados do triângulo ABC são:

AB = r + r₁, AC = r + r₂ e BC = r₁ + r₂.

Sendo D o centro da semicircunferência de raio (r₁ + r₂), temos

BD = r₂, DC = r₁ e
AD = DE – AE = r₁ + r₂ – r.

Usando o teorema de Stewart no triângulo ABC com a ceviana AD, obtemos:

(r + r₁)². r₁ + (r + r₂)². r₂ – (r₁ + r₂ – r)² (r₁ + r₂)
= r₁ r₂ (r₁ + r₂).

Desenvolvendo algebricamente essa igualdade, e isolando-se o r, chega-se à relação procurada:

. (1)

Como complemento, observamos que a altura h, assinalada na figura, do triângulo ABC em relação ao lado BC, pode ser calculada em função de r, fazendo-se:

sendo a segunda igualdade obtida usando-se a fórmula de Heron (ver [2] ou, por exemplo, RPM 23, 36 ou 57) para o cálculo da área do triângulo ABC, lembrando que as medidas de seus lados são:
r + r₁, r + r₂ e r₁ + r₂, e o semiperímetro, p, é igual a r + r₁+ r₂.

Substituindo-se, em (2), o valor de r pelo valor obtido em (1), vem:

Usando essa igualdade em (2), obtemos

e, então, h = 2r.

provando outros resultados

Os resultados 1 e 2 a seguir estão propostos em [3]. Vamos prová-los usando o teorema de Stewart.

Resultado 1

Em todo triângulo, a soma dos quadrados das medidas das medianas é igual a 3/4 da soma dos quadrados das medidas dos lados.

Resultado 2

Em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas das distâncias do vértice do ângulo reto aos pontos de trissecção da hipotenusa é igual a 5/9 do quadrado da medida da hipotenusa.

Demonstração do Resultado 1

Seja o triângulo ABC, de lados BC = a, AC = b e AB = c. Suas medianas são AM = ma, BN = mb e CO = mc.

Aplicando-se o teorema de Stewart para a mediana m_a, obtém-se:

Analogamente, obtêm-se para as medianas m_b e m_c, respectivamente:

Somando-se as três últimas equações, obtemos

que é o que queríamos provar.

Demonstração do Resultado 2

Seja ABC um triângulo retângulo em A, de lados BC =a, AC = b e AB = c. Sejam T₁ e T₂ os pontos que dividem a hipotenusa em três partes iguais; logo, BT₁ = T₁T₂ = T₂C = a/3.

Se AT₁ = d₁, aplicando-se o teorema de Stewart no triângulo ABC para a ceviana AT₁, obtemos

Analogamente, se AT₂ = d₂, aplicando-se o teorema de Stewart no triângulo ABC para a ceviana AT₂, obtemos:

Somando-se as duas últimas equações, obtemos

Pelo teorema de Pitágoras, b² + c² = a²; logo,

que é o que queríamos provar.

REFERÊNCIAS

1 Matemática Pura. Brahmagupta, Heron e algumas aplicações interessantes, 2014. Disponível em: http://amatematicapura.blogspot.com.br/2012/07/brahmagupta-heron-e-algumas-aplicacoes.html. Acesso em: 14 de fevereiro de 2014.

2 Dalcin, M. A demostração feita por Heron. Revista do Professor de Matemática, no 36. São Paulo: SBM, 2009.

3 Posamentier, A. S., Salkind, C. T. Challenging problems in geometry. New York: Dover, 1996.

4 Wikipedia. Arbelos, 2014. Disponível em: http://en.wikipedia.org/wiki/Arbelos. Acesso em: 14 de fevereiro de 2014.