 |
|
|
|||
 |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|||||
Dirceu Aparecido Borges
INTRODUÇÃO É conhecido (ver RPM 39, pág. 3) que, para todo número inteiro n, n2 pode ser escrito como a soma dos n primeiros ímpares consecutivos. Ou seja,
A última igualdade pode ser comprovada usando a fórmula da soma de n termos de uma progressão aritmética. Por volta do ano 100, o neopitagórico Nicômaco de Gerasa descobriu que o cubo de todo número inteiro n é a soma de n números inteiros ímpares consecutivos [1]:
Assim, observando a maneira como os inteiros ímpares estão agrupados no esquema proposto por Nicômaco, podemos, por exemplo, representar 73 como uma soma de 7 números ímpares consecutivos. Para isso, basta encontrar o primeiro elemento da 7a linha do esquema de Nicômaco. Notemos que o primeiro elemento da 7a linha é precedido por 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 termos, ou seja, há 21 números ímpares até o final da linha 6. O primeiro elemento da 7a linha é o elemento a22 da progressão aritmética dos números ímpares; então, a22 = 1 + 21.2 = 43. Portanto, 73 = 343 = 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55. Notemos ainda que o último termo dessa linha é a28 = 43 + 6.2 = 55. exPlicaÇÃo do funcionamento do esquema de nicÔmaco Agora, já sabemos como funciona o esquema de Nicômaco. Mas ainda falta provar que a expressão geral para a soma dos termos da n-ésima linha, que denotaremos An, é n3. De forma análoga ao que fizemos para a 7a linha, temos o primeiro inteiro da soma que define An igual a
O último inteiro dessa somaé (n2 – n +1) + (n – 1) ∙ 2 = n2 + n – 1. Logo, para determinar An temos que somar os n termos de uma progressão aritmética, sendo o primeiro termo igual a n2 – n + 1 e o último termo igual a n2 + n – 1. Então:
Assim, o cubo de qualquer inteiro positivo, n3, pode ser representado pela soma de n números ímpares naturais consecutivos. No entanto, podem existir outras possibilidades de representar o cubo de um inteiro positivo como uma soma finita de inteiros ímpares e consecutivos. Tomemos, por exemplo, o caso de 43: 43 = 64 = 31 + 33 = 13 + 15 + 17 + 19 = Note-se, nessa última representação, o resultado do início deste texto: 43 = 82 escrito como a soma dos oito primeiros números ímpares positivos. Um fato interessante é que essa observação, 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) =n2, junto com a feita por Nicômaco, leva à conclusão de que a soma dos n primeiros cubos é igual ao quadrado da soma dos n primeiros inteiros, pois: 13 + 23 + ... + n3 = 1 + 3 + 5 + ... + (n2 + n – 1) = sendo 2k = n(n+1). Logo,
Por outro lado, 13 + 23 + ... + n3 = (1 + ... + n)2. CONSIDERAÇÕES FINAIS Podemos, ainda, usar esquemas semelhantes ao de Nicômaco para expressar outras potências de um número natural n como uma soma de n números ímpares consecutivos:
No caso das potências n4, o primeiro inteiro positivo ímpar da soma que define An é dado (ver OBSERVAÇÃO) por 1 + n ∙ (n + 1) ∙ (n + 2) = n3 + 3n2 + 2n + 1. Assim, seguindo o raciocínio anterior, o leitor poderá comprovar que An = n4 e, ainda, representar qualquer potência n4 como soma de n números ímpares (naturais) consecutivos. OBSERVAÇÃO Para obtenção, no caso das potências n4, do primeiro inteiro positivo ímpar, bn, da soma que define An , basta observar o seguinte padrão que ocorre com os primeiros termos de cada linha do esquema:
Notemos ainda que (1, 3, 6, 10, ...) corresponde à conhecida sequência dos números triangulares; dessa forma, a sequência
sendo Tn o n-ésimo número triangular. Assim, obtemos:
E finalmente, somando ordenadamente, membro a membro os termos da sequência
obtemos a fórmula que expressa o primeiro inteiro positivo ímpar da soma que define An. Nota da rpm Observamos que existe um procedimento mais simples para obter o resultado para n3, que consiste em usar a igualdade:
que é uma soma de a termos iguais. Daí basta subtrair e somar os primeiros ímpares ou pares sucessivos a cada um desses termos para obter a soma desejada. Exemplificando no caso 63 63 = 6 × 62 = 62 + 62 + 62 + 62 + 62 + 62 = Exemplificando no caso 73 73 = 7 × 72 = 72 + 72 + 72 + 72 + 72 + 72 + 72 =
NOTAS 1 BOYER, C.B. História da Matemática. São Paulo: Edgar Bluncher, 1996. 2 KLINGER, A. A cubed positive integer is a sum of consecutive odd numbers. Disponível em: 3 ABREU, J.F. de. Como calcular? Revista do Professor de Matemática (RPM), no7, SBM, 1985, p. 44-45. 4 MUNIZ NETO, A.C. Tópicos de Matemática Elementar: números reais. Rio de Janeiro: SBM, 2012, p. 109.
|
e então
pode ser definida recursivamente por:
e usando a fórmula que fornece a soma dos números triangulares de 1 a n, 
