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Cláudia Peixoto INTRODUÇÃO O álbum oficial da FIFA 2014 é formado por 649 cromos. No artigo Quantas figurinhas comprar para completar o álbum da copa?, de Paulo Cezar P. Carvalho, publicado na RPM 73, página 37, temos o cálculo do número médio de figurinhas que devem ser compradas para completar o álbum quando um pacotinho tem apenas uma figurinha. Aqui vamos calcular o número médio de pacotinhos necessários para completar o álbum considerando que cada pacotinho contém 5 figurinhas distintas entre si. Esse fato altera o cálculo da média, mas será que os valores serão tão diferentes assim? No final deste artigo, compararemos os dois valores. Partiremos do fato de que todos os pacotinhos distintos são produzidos na mesma quantidade e igualmente distribuídos por todos os pontos de venda, ou seja, você pode comprar qualquer pacotinho com a mesma probabilidade. Ao comprarmos um pacotinho com 5 figurinhas distintas entre si, o número de figurinhas que iremos colar varia de 0 a 5, dependendo de quantas figurinhas já estão coladas no álbum. Vamos denotar por N o total de figurinhas, por K o número de figurinhas já coladas no álbum e por C o número de figurinhas que iremos colar ao comprar um novo pacotinho. distribuiÇÃo hipergeomÉtrica Temos um total de Como temos c novas e 5 – c repetidas, das K figurinhas já coladas devem ser escolhidas 5 – c e das N – K que faltam devem ser escolhidas c. Assim, o número de pacotinhos com c figurinhas novas é
Portanto, a probabilidade de comprarmos um pacotinho com c figurinhas novas é
Essa distribuição de probabilidade é chamada de hipergeométrica de parâmetros N, K, 5. O valor médio de C, que pode ser encontrado em [1], é
Observe que o número médio de figurinhas a serem coladas é 5 vezes maior do que no caso da compra de uma figurinha, que é No início do álbum, temos K = 0, N = 649 e
Se tivermos 300 figurinhas coladas, K = 300, a distribuição de probabilidade de C será
Observação: Você pode calcular outras distribuições de probabilidades de C (variando K) utilizando a função do excel, por exemplo. nÚmero mÉdio de pacotinhos para completar o Álbum Antes de calcularmos o número médio de pacotinhos para completar o álbum oficial da FIFA com 649 figurinhas, vamos, como exemplo, calcular o número médio de pacotinhos para completar um álbum com apenas 7 figurinhas e pacotinhos com 5 figurinhas. Defina T(K) o valor médio (ou esperado) do número de pacotinhos necessários para preencher um álbum que já possui K figurinhas coladas. Gostaríamos de calcular T(0). Note que T(K) = 0 para K ≥ N. Vamos denotar, para uma distribuição hipergeométrica de parâmetros N, K, 5; a P(C = c) por PK(c), para c = 0, 1, 2, 3, 4, 5. As equações de recorrência permitem expressar T(K) em função de T(K + 1), ..., T(K+ 5). Por exemplo, T(5) = [1+T(5)]P5(0) + [1+T(6)]P5(1) + Isso nos fornece um esquema para o cálculo de T(K), para K variando de 1 a N – 1. Para N = 7, temos que: T(0) = 1 + T(5) Na primeira equação, temos que o valor médio do número de pacotinhos é 1 somado ao valor médio do número de pacotinhos necessários após colarmos as 5 primeiras figurinhas. Já a segunda equação afirma que o valor médio do número de pacotinhos necessários para preencher o álbum depende de quantas figurinhas novas haverá no próximo pacotinho. Se não vier nenhuma figurinha nova, compramos um pacotinho e temos que completar o álbum partindo da mesma situação. Se colarmos uma nova figurinha, partimos de T(6); se colarmos duas figurinhas, encerramos o álbum. Utilizando a distribuição hipergeométrica de parâmetros 7, K, 5, temos: Para encontrarmos T(0), basta resolvermos o sistema de equações construído acima. Da última equação, temos que T(6) é 42/30. Substituindo o valor de T(6) na segunda equação, encontramos que T(5) é 7/4 e, portanto, concluímos que T(0) é 11/4. Considere agora N = 649. Queremos calcular T(0) e para isso vamos escrever T(K) em função de T(K + 1), T(K + 2), T(K + 3), T(K + 4) e T(K+ 5). Primeiramente temos que
Com o auxílio de um computador, encontramos que o número médio de pacotinhos para preencher o álbum é 913, 33. (*) comparação com o caso em que há uma figurinha por pacotinho Como mencionamos na introdução, vamos comparar o cálculo feito no artigo da RPM 73 com nosso cálculo. Vamos considerar N = 649 figurinhas no total. Para a compra de uma figurinha por vez, temos um valor médio aproximado de NlnN ou, sem aproximação, Primeiramente, observamos que, apesar da aproximação da soma harmônica truncada em 649 por ln649 ser boa, quando multiplicamos por 649, essa diferença pode ser considerada grande demais para nosso problema, já que fornece uma diferença de aproximadamente 375 figurinhas. (*) Gostaria de agradecer aos alunos do Bacharelado em Ciênca da Computação, ime-usp, da disciplina mae228, que forneceram programas que resolvem o sistema.
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 1 James, Barry R. Probabilidade: um curso em nível intermediário. IMPA, 2014. |
acotinhos distintos. Podemos calcular, pelo princípio fundamental da contagem, o número de pacotinhos com c figurinhas novas, ou seja, que ainda não saíram anteriormente.
. Esses valores são, respectivamente, 4202,56 e 4577,669. Para termos uma comparação correta, dividimos por 5 os valores encontrados e temos 840,51 e 915,53.