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Yuriko Y. Baldin
A ÁRVORE DE POSSIBILIDADES NOS PROBLEMAS Como organizar as etapas de um raciocínio dedutivo num problema de Matemática? Essa questão é um fio condutor do ensino e aprendizagem da Matemática desde o nível básico. Muitos alunos enfrentam dificuldades, com especial destaque, na escolha decisória de possibilidades nos problemas de raciocínio lógico ou nos problemas de contagem que formam a base para raciocínios combinatórios. Neste texto mostramos como a técnica da árvore de possibilidades, que registra as decisões sobre os relacionamentos entre os dados de um problema, permite estabelecer uma estratégia didática que pode ser adotada em salas de aula com problemas das provas da OBMEP e do Banco de Questões. Os exemplos que apresentamos fazem parte do material trabalhado no Módulo 1 do PROF-OBMEP ([1]). O REGISTRO VISUAL DAS ETAPAS DE TOMADA DE DECISÕES EM PROBLEMAS DE MATEMÁTICA Nas provas da OBMEP frequentemente encontram-se questões, presentes em todos os níveis, desde 6o ano até o ensino médio, que não exigem conhecimento de conceitos ou técnicas específicos de cada ano/série escolar, mas sim que demandam capacidade de dedução lógica. Tais questões apresentam, em geral, um conjunto de informações que devem ser organizadas usando basicamente as ações de escolha “e” e “ou”, conforme análise das possibilidades observadas. A compreensão do significado desses conectivos lógicos é fundamental para sistematizar os princípios multiplicativo e aditivo nas contagens a serem feitas. A visualização de uma estratégia de resolução por meio do registro de decisões em cada etapa é uma poderosa ferramenta, sendo a árvore de possibilidades um grande potencial didático, pois ela permite rastrear no final todo o raciocínio utilizado ao analisar as possibilidades nas decisões tomadas em cada ramo da árvore. Em outras palavras, o registro dos dados na árvore desenvolve o raciocínio dedutivo, o objetivo principal da resolução de problemas. UM EXEMPLO DE ABORDAGEM EM UM PROBLEMA DE LÓGICA DESENVOLVIDO NO PROF OBMEP 2012, 1ª Fase, Questão 20, Nível 1; Questão 20, Nível 2; Questão 16, Nível 3 O enunciado da questão é:
A Metodologia de Resolução de Problemas como trabalhada no PROF começa pela leitura e compreensão dos dados, sendo que os do problema em questão podem ser organizados do seguinte modo:
A primeira decisão é “por onde começar o registro desses dados na forma de uma árvore?”. O raciocínio se inicia com um questionamento básico da tomada de decisões: “Qual é a informação definitiva que temos sobre as pessoas envolvidas (dados do problema)?”. É importante destacar que a escolha de iniciar a análise pelo dado que contém mais informações restritivas é um princípio fundamental que permeia as estratégias de resolução dos problemas de contagem. ([2]) A informação definitiva de que dispomos é a que Bianca comprou exatamente 3 livros (3.). As outras são dados relativos às pessoas envolvidas no problema e que precisam ser analisados.
A primeira dedução é imediata e os próprios alunos participarão no registro: O marido da Bianca comprou 7 livros.
Combinando a informação de que Cláudia e Lorena compraram mais livros que Bianca (6.) com a de que Pedro comprou 5 livros a mais que Cláudia (5.), deduz-se que Cláudia e Lorena compraram 4 ou mais livros e elimina-se a possibilidade de o Pedro ser o marido da Cláudia, assim como da Bianca. Pelo fato de a análise de cada dado promover um diálogo, toda dedução pode ser trabalhada por meio de questionamentos para que os próprios alunos deduzam e registrem as respostas na árvore, como no diagrama superior da coluna ao lado. O registro do diagrama inferior se refere às possibilidades de número de livros que cada marido pode ter comprado, denotando simplesmente por HOMEM o 3º homem de nome não fornecido, e completando a informação (4.) de que Vítor comprou 3 livros a mais que Lorena. Isso combinado com (2.) elimina a possibilidade de Vítor ser o marido da Lorena. As possibilidades para analisar os nomes de maridos para cada mulher são representadas no diagrama da árvore com setas e são lidas com o conectivo OU.
O registro da árvore conduz à etapa de decidir, por meio de dedução, “quem é o marido da Lorena”, entre Pedro e HOMEM. Já havíamos deduzido que Pedro não poderia ser marido nem da Cláudia nem da Bianca, logo Pedro tem que ser o marido da Lorena. Mas podemos deduzir um pouco mais. A informação já obtida de que Pedro comprou 5 livros a mais do que Cláudia combinada com (2.), a de que ele comprou 4 livros a mais do que sua esposa, permite deduzir que “Cláudia comprou menos livros que Lorena”, além de que “Pedro é o marido da Lorena”. Essa etapa crucial trabalhada com a classe por meio de questionamentos é facilitada se todas as etapas anteriores estiverem organizadas e visualizadas como no diagrama. O registro até agora fornece condições suficientes para analisar cada um dos itens do problema, lendo os dados no diagrama, exceto o item e:
Esse é um exemplo de raciocínio lógico por redução ao absurdo, que, com uso estratégico de visualização de todas as etapas da dedução, se torna acessível e compreensível mesmo para níveis escolares elementares do 6° e 7° anos. Podemos deduzir também, continuando a exploração do problema, quais são os casais, o que não foi informado nem solicitado. Observamos que nem o nome do 3o marido foi dado, o que não foi necessário para a resolução do problema. Os casais são: Bianca e HOMEM; Cláudia e Vítor; Lorena e Pedro. O diagrama de árvore apresentado é adaptação do material do PROF1, que usa, na realização da oficina, recursos tecnológicos para animar o diagrama à medida que se trabalha o desenvolvimento do raciocínio dedutivo, trazendo dinamismo interativo que permite acompanhar passo a passo as etapas, ou retornar aos passos anteriores se necessário. Para trabalhar problemas com a técnica da árvore de possibilidades numa sala de aula, uma recomendação é construir a árvore na lousa com participação dos alunos, cada etapa sendo registrada por diferentes alunos. O diálogo e a argumentação por alunos distintos, em cada etapa, estimulam a participação e todos irão exercitar seus raciocínios dedutivos. O DIAGRAMA DE ÁRVORE EM UM PROBLEMA BÁSICO DE CONTAGEM Baseado em BQ 2012, Questão 21, Nível 1 O enunciado da questão:
Antes de iniciar a abordagem por diagrama de árvores, especialmente nas séries iniciais, é importante permitir que os alunos experimentem a pintura de figuras para poderem concluir a forma de se raciocinar, para então passar ao registro das árvores de possibilidades, acompanhando o raciocínio. No problema proposto, a seguinte árvore registra o raciocínio para a figura 1:
Podemos começar a pintar por qualquer dos vértices do triângulo, pela equivalência de condições. Fixado um vértice temos 3 opções de cor: A ou P ou V. Para cada cor escolhida, o segundo vértice a pintar tem 2 opções de cor, porque não podemos repetir a cor. Para cada uma dessas opções, o terceiro vértice tem apenas 1 opção determinada, a cor restante. A operação de multiplicação emerge desse raciocínio em seu significado desde o ensino elementar. Logo, o total de modos é dado por: 3 x 2 x 1 = 6, que corresponde ao número de galhos que saem de 3 ramos. No caso do quadrado, também podemos começar a pintar por qualquer um dos vértices. Temos 3 ramos que surgem de cada uma das cores. Reproduzimos na coluna ao lado o ramo da árvore que se inicia com V. As possibilidades para o 2° vértice subsequente
são 2, devido a ser 2 as cores restantes.
Como temos 3 ramos, um para cada cor que
pode ser escolhida no 1o vértice, a resposta é Explorações para estimular as discussões: “E
se tiver uma diagonal ligando um par de vértices
REFERÊNCIAS [1] PROF-OBMEP, Livro 1, a ser publicado.
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