RESPONSÁVEIS

Maria Elisa E.L. Galvão e Renate Watanabe
Envie suas perguntas para RPM – O Leitor Pergunta
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INSPIRAÇÃO AJUDOU

Um leitor de São Paulo pediu a solução de dois problemas de álgebra:

Sejam α e b, com a > b, as raízes da equação . Encontre o valor de
α – β.

RPM

Reduzindo a expressão ao mesmo denominador, obtém-se x4 + 6x3 – 9x2 – 162x – 243 = 0. E agora?

Uma tentativa é escrever o polinômio de grau 4 como produto de dois polinômios de grau 2:

x⁴ + 6x³ – 9x² – 162x – 243 = (x² + ax + b)(x² + cx + d).

Essa fatoração leva às seguintes condições para a, b, c e d:

bd = – 243; ad + bc = – 162; b + d + ac = – 9 e a + c = 6.

Procurando, inicialmente, soluções inteiras de bd = – 243 = – 35, vê-se que os valores para b e d devem ser potências de 3. Testando as possíveis alternativas para b e d nas igualdades das condições anteriores, o que dá algum trabalho, chega-se a

b = – 9; d = 27; a = – 3 e c = 9.

Obtemos, assim, a fatoração:

x⁴ + 6x³ – 9x² – 162x – 243 =
(x² – 3x – 9)(x² + 9x + 27).

Pelo enunciado do problema, que diz raízes α e β com α > β, deduzimos que as raízes pedidas
são as reais e as raízes reais da equação dada são as raízes de

x²– 3x – 9 = 0, que são , cuja diferença é .

Como fatorar (a – b)c³ – (a – c)b³– (c – b)a³?

RPM

Seja A = (a – b)c³ – (a – c)b³– (c – b)a³.

Fazendo a = b, observamos que A = 0, mostrando que A é divisível por a – b.

Fazendo a = c, observamos que A = 0, mostrando que A é divisível por a – c.

Fazendo b = c, observamos que A = 0, mostrando que A é divisível por b – c.

Nessa situação, o algoritmo de Briot-Ruffinié muito prático. Vamos ordenar as parcelas de A segundo potências decrescentes de a e efetuar as divisões de A por a – b e, em seguida, por a – c.

A = (b –c)a³ + (c³ – b³)a + b³c – bc³.

Portanto,

A = (a – b)(a – c)[(b – c)a + b² – c²] =
(a – b)(a – c) [(b – c)a + (b – c)(b + c)] =
(a – b)(a – c)(b – c)(a + b + c).

440 OU 450?

De um leitor do Ceará:

A questão abaixo está no livro Matemática – Pensar e Descobrir (8o ano, FTD). A resposta dada no livro é 450. A questão também está na internet, resolvida, e lá a resposta é 440. Qual está certa?

Em razão do sistema de irrigação adotado (pivô central), as linhas de uma plantação de uma cultura foram feitas de forma semicircular. Sabendo-se que a distância entre plantas em uma mesma linha de plantação é de 0,80m e que a distância radial entre as linhas de plantação é de 2m, calcule o número total de plantas para o caso de 10 linhas de plantação. Considere π = 3,2.

Uma adaptação da solução apresentada na internet é:

O raio de cada linha de plantação R_n = 2n, sendo n o número da linha.

Assim, o comprimento de cada linha será dado pela metade do comprimento da circunferência de raio R_n, ou seja, C = πR_n .

Como a distância entre cada planta é 0,8m, o número de plantas, N_p, em cada linha é:

Para calcular o número total de plantas, N_t, nas 10 linhas, devemos somar o número de plantas em cada linha:

Fazendo π= 3,2, temos N_t = 440.

RPM

A solução acima está quase correta. Foi esquecida uma planta no início (ou no fim) de cada linha. Portanto, o número total de plantas é 440 + 10 = 450.

Observação

No final de junho, por curiosidade, a RPM digitou no Google a primeira linha do enunciado do
problema. Apareceram cinco sites com soluções: duas certas e três erradas.

REGIÃO TRIANGULAR

Escreve um leitor de Minas Gerais: Caros amigos, gostaria de saber se alguém poderia solucionar a questão abaixo.

Calcular a área da região triangular ABC, dado BD = 10m.

RPM

Segundo o site http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Sangaku2_2_5.shtml um problema mais geral, cuja solução nos conduz à solução da questão acima, como caso particular,é um Sangaku (ver RPM 49) do período Chiba, que apareceu impresso em um livro de 1781. No mesmo site, poderão ser encontrados outros problemas que tratam de circunferências inscritas.

Vamos resumir a solução do problema geral, seguindo os passos apontados do site acima, pois precisaremos de resultados parciais lá encontrados.

Dado um triângulo ABC, se D é um ponto do lado AC tal que as circunferências inscritas nos triângulos ABD e BDC têm o mesmo raio r, encontrar uma expressão para o comprimento BD em função dos comprimentos a, b e c dos lados do triângulo ABC.

Para chegar à expressão, consideramos a circunferência de raio R inscrita no triângulo ABC cujo semiperímetro é S (S = (a + b + c) /2).

Sabemos que as áreas dos triângulos ABC, ADB e BDC podem ser expressas em termos de seus respectivos semiperímetros e os raios das circunferências inscritas. Assim, área do triângulo ABC = S ∙ R = área do triângulo ADB + área do triângulo BDC. Logo, S ∙ R = (S₁+ S₂) ∙ r (1). Sendo S₁ e S₂ os semiperímetros dos triângulos ADB e BDC, respectivamente.

Temos ainda a relação entre os semiperímetros dos três triângulos: S + x = S₁ + S₂, (2)
sendo x o comprimento do segmento BD.

Sabemos que são congruentes os dois segmentos contidos em dois lados de um triângulo cujas extremidades são o vértice comum a esses lados e os respectivos pontos de tangência dos lados
com a circunferência inscrita no triângulo.

Na figura 1 estão assinalados os segmentos tangentes à circunferência inscrita no triângulo ABD e na figura 2, os segmentos tangentes à circunferência inscrita no triângulo ABC, todos os segmentos com origem no vértice A. Seus comprimentos são, respectivamente, t e T.

Usando a propriedade mencionada para os segmentos com origem nos outros dois vértices do
triângulo ABC, vê-se que

a = b – T + c – T, isto é, b + c = a + 2T.
Assim, 2S = a + b + c = 2a + 2T e obtém-se T = S – a. (3)

Na figura 3, OE = R, O’F = r, AF = t, AE = T. Pela semelhança dos triângulos AO’F e AOE, temos. Resultam as igualdades abaixo, que serãojustificadas logo a seguir.

I. Vem da igualdade (3), usada nos triângulos ABC e ABD.
II. Procedimentos iguais ao de cima, nos triângulos ABC e BDC, começando com a razão r/R.
III. Vem da igualdade (1), com r/R isolado num dos lados dessa igualdade.

Olhando para a igualdade II e lembrando a propriedade:

Da igualdade (2) vem:

e, finalmente, S² – x² = bS, ou seja, x² = S(S – b).

Voltemos ao problema original em que o triângulo ABC é retângulo.

Temos, pelas propriedades de tangência (ver figura 4), que

portanto,

x² = S(S – b) = S ∙ R

que é a área do triângulo ABC. A área procurada será 100 cm².

Convidamos o leitor a obter uma solução do problema original, sem passar pelo caso geral aqui apresentado. Publicaremos essa solução na RPM 86, dando crédito ao autor.

Caros leitores,

Os editores da RPM comunicam com tristeza o falecimento de um companheiro de muitos anos no CE – Comitê Editorial. Trata-se do Professor Alberto Carvalho Peixoto de Azevedo, que participou do CE entre os anos de 1986 e 2013.

Acometido de uma séria doença, ele teve que se afastar do Comitê, mas, em virtude dos muitos anos de colaboração, ele recebeu, nessa ocasião, o título de editor honorário da RPM.

O Professor Alberto nos deixou muita saudade, mas vários artigos da Revista mantêm vivas suas sugestões e reformulações.

Na SBM – Sociedade Brasileira de Matemática, o professor Alberto fez parte da sua primeira diretoria, no período de 1969 a 1971. Posteriormente, foi eleito membro do Conselho Diretor por duas vezes, em 1971-1973 e 1973-1975, e foi membro do Conselho Fiscal da SBM de 1980 a 1990.

Alberto Carvalho Peixoto de Azevedo nasceu em 15 de fevereiro de 1933 e graduou-se em Engenharia Eletrônica (ITA) em 1955. Concluiu o seu mestrado em Matemática em 1962, pela Universidade de Harvard, e o doutorado em Matemática em 1967, pela Universidade Purdue.

Teve atuação marcante na PUC-Rio, na UnB e junto ao CNPq.

Desde 1971 era membro da Academia Brasileira de Ciências.

Em 2004 foi condecorado com a Ordem Nacional do Mérito Científico, na classe de Comendador.