Aldo T. Lourêdo
DM - UEPB

INTRODUÇÃO

Vamos inicialmente enunciar alguns resultados que utilizaremos neste texto. São resultados conhecidos cujas demonstrações podem ser facilmente encontradas em textos didáticos.

O teorema do ângulo externo permite estabelecer diversas desigualdades relacionando lados e ângulos de um triângulo. Entre elas destacamos algumas.

Os lados que se opõem a dois ângulos não congruentes de um triângulo são não congruentes. Além disso, ao maior ângulo se opõe o maior lado.

(Desigualdade triangular) A soma dos comprimentos de quaisquer dois lados de um triângulo é maior que o comprimento do terceiro lado.

Quaisquer que sejam os pontos A, B e C têm-se AB + BC > AC.

É importante observar que a recíproca da desigualdade triangular também é verdadeira.

Se a, b e c são três números reais positivos tais que a soma de quaisquer dois é maior que o terceiro, então existe um triângulo cujos lados têm comprimentos a, b e c.

APLICAÇÕES

Em um dado um triângulo ΔABC, suponha que o lado AB seja o de maior comprimento. Prove que, para todo ponto P no interior do ΔABC, tem-se PA + PB > PC.

Solução

Seja D a intersecção do prolongamento do segmento CP com o lado AB do ΔABC. Então um dos ângulos ∠ADC ou ∠BDC tem medida maior ou igual a 90o, digamos que seja o ∠ADC.

Aplicando o Teorema 1.1 no ΔADC obtêm-se AC > CD. Mas, por hipótese, AB ≥ AC e, portanto, AB > CD. Como CD = CP + PD > CP, segue que AB > CP.

Por outro lado, aplicando a desigualdade triangular no ΔAPB, tem-se PA + PB > AB.

Logo, PA + PB > PC.

Num plano é dado um quadrilátero convexo. Determine ∈ P tal que a soma das distâncias de P aos vértices do quadrilátero seja mínima.

Solução

Sendo ABCD o quadrilátero convexo dado, sabe-se que suas diagonais AC e BD se intersectam num ponto O. Note que
OA + OB + OC + OD = (OA + OC) + (OB + OD) = AC + BD.

Seja P ∈ um ponto arbitrário, P distinto de O. Pelo Corolário do Teorema 1.2 têm-se

PA + PC ≥ AC e PB + PD ≥ BD.

Como P é distinto de O, a igualdade não pode ocorrer simultaneamente nessas duas desigualdades e, somando-as, conclui-se que

PA + PB + PC + PD > AC + BD.

Portanto, O é o ponto procurado.

Dado um ΔABC, para todo ponto P no interior do ΔABC, tem-se

p/2 < PA + PB + PC < p

sendo p = AB + BC + AC o perímetro do ΔABC.

Solução

Sendo P um ponto pertencente ao interior do ΔABC, seja Q a intersecção do prolongamento do segmento BP com o lado AC do ΔABC.

Aplicando a desigualdade triangular aos triângulos ΔABQ e ΔPCQ obtemos

BQ < AB + AQ e PC < PQ + QC, respectivamente.

Logo,
PB + PC < PB + (PQ + QC) = (PB + PQ) + QC =
BQ + QC < (AB + AQ) + QC = AB + (AQ + QC) =
AB + AC.

Temos, assim, estabelecida a desigualdade

PB + PC < AB + AC.

Analogamente, obtemos

PA + PB < BC + AC e PA + PC < AB + BC.

Somando essas três desigualdades, segue que

2(PA + PB + PC) < 2(AB + BC + AC),

o que implica

PA + PB + PC < p.

Por outro lado, aplicando a desigualdade triangular aos triângulos ΔABP, ΔBCP e ΔACP obtemos

AB < PA + PB, BC < PB + PC e AC < PA + PC,

respectivamente.

Somando essas desigualdades, segue que

AB + BC + AC < 2(PA + PB + PC)

e, portanto,

p/2 < PA + PB + PC.

Para cada número real k, k > 1, considere a proposição

P_k: Em todo triângulo existem dois lados
cujos comprimentos a e b satisfazem
1 ≤ a/b < k

Determine o menor valor de k para o qual a proposição P_k seja verdadeira.

Solução

Se P_k não é verdadeira para algum k > 1 então existe um triângulo com lados de comprimentos a, b e c, a < b < c tais que

Mas, pela desigualdade triangular, tem-se a < b + c o que acarreta

ou, equivalentemente, k2 – k – 1 < 0.

Assim,

Temos até aqui provado que se então a proposição P_k é verdadeira.

Reciprocamente, afirmamos que se P_k é verdadeira então

Sendo m um número real tal que então m² – m – 1 < 0, ou ainda, 1 + m > m².

Pelo Teorema 1.3, existe um triângulo cujos lados têm comprimentos 1, m e m².

As razões, maiores ou iguais a 1, dos comprimentos dos lados desse triângulo são

Como m ≤ m² e, por hipótese, a proposição P_k é verdadeira, segue k > m implicando

Assim, a proposição P_k é verdadeira se, e somente se, de modo que o menor valor possível para k é

BIBLIOGRAFIA

[1] BARBOSA, J. L. M. Geometria Euclidiana Plana, Coleção do Professor de Matemática, SBM, Rio de Janeiro, 2012.

[2] FORMIN, D et al. Círculos Matemáticos. A Experiência Russa, IMPA, Rio de Janeiro, 2010.

[3] NETO, A, C, M. Tópicos de Matemática Elementar: Volume 2, Geometria Euclidiana Plana, SBM, Coleção do Professor de Matemática, Rio de Janeiro, 2012.