Luis Alexandre Chiconello
Professor de Matemática da etec (Escola Técnica Estadual) de São José do Rio Pardo – SP , Mestre em Matemática Profmat-UFSCAR

INTRODUÇÃO

O presente texto pretende investigar quais categorias de números naturais com repetições em seus dígitos, do tipo

ou com a , b e c dígitos não nulos,

a < b e n ≥ 2, são quadrados (quadrados perfeitos).

A motivação inicial foi provocada por duas questões. A primeira, da seção Problemas – RPM n° 31, Problema n° 134 ou do vestibular do IME (ano 2004), que pedia para o estudante provar que o número é um quadrado. A outra questão encontra-se no

livro [1], p.32, exercício 18, o qual solicita que o leitor mostre que o número

é um quadrado e ainda apresente sua raiz quadrada.

Especificamente, para as duas categorias de números apresentadas acima, quais são quadrados?

1° TIPO

Seja o número natural com a, b e c dígitos não nulos, a < b. Segue que

Usando a expressão da soma dos termos de uma PG finita em (I) e em (II), tem-se:

Para que N seja um quadrado da forma com p e q inteiros, devemos

ter p² = a, 2pq = b – a ou e q² = 9c – 10b. Como b – a > 0, temos pq > 0,

logo podemos supor p e q positivos. Investigando os possíveis casos em que q² = 9c – 10b, obtém-se somente quatro situações, descritas na tabela:

b = 8 é o maior valor para b (o que leva a c = 9).

Como a = 1 é o menor valor para a, tem-se e como p e q são inteiros

positivos e ainda , tem-se que

Para que 9c – 10b seja positivo, devemos ter b < c. Assim, a < b < c .

Vamos agora investigar o que ocorre nos quatro casos da tabela.

c = 9, b = 8 (q² = q = 1)

Como b = 8 e b > a, tem-se que a = 1 ou a = 4 (sendo p inteiro e positivo, a deve ser quadrado).

Para a = 1 , , logo não há solução.

Para a = 4, . Assim,

é quadrado e pode ser escrito na forma

c = 6, b = 5 (q² = 4 e q = 2)

Como b = 5 tem-se a = 1 ou a = 4.

Para a = 1, p = 1 e , segue

é quadrado e pode ser escrito na forma

Para a = 4, , logo não há solução.

c = 4, b = 2 (q² = 16 e q = 4)

Como b = 2 e a < b, temos a = 1, e então , logo não há solução.

c = 5, b = 2 (q² = 25 e q = 5)

Nesse caso também não há quadrados, pois como b = 2 e a < b, temos a = 1, e então .

Concluindo, há apenas dois casos de números do tipo

que são quadrados,

Note que nesses dois casos,

2° TIPO

Seja o número

Procedendo de modo análogo ao do 1o tipo chega-se em:

Veja que agora 2pq ∙ 10ⁿ = 10 ∙ (b – a) ∙ 10ⁿ ou pq = 5∙(b – a), ou seja, 5 é um divisor de pq.

Para c = 5, b = 2, tem-se a = 1 e ainda, pq = 1∙5 = 5 (b – a). Logo, será um quadrado e pode ser escrito

Para os três outros casos da tabela, 5 não divide pq, logo não teremos quadrados. Para o 2° tipo, pode-se concluir que existe apenas um caso. Notar que a questão da RPM 31 ou a questão do IME, relatada no início do texto, refere-se a esse número:

NOTAS

1. Interessante observar que é quadrado, mas não é um quadrado.

2. Observe que para os números do 1o tipo, com p = 1 e q = 2 ou p = 2 e q = 1.

Somente nesses casos que se tem N como um quadrado.

3. Só há um caso para os números do 2° tipo .

REFERÊNCIAS

[1] LIMA E. L., CARVALHO P. C. P., WAGNER E., MORGADO A. C., A Matemática do Ensino Médio. Vol. 2, Coleção do Professor de Matemática, SBM, Rio de Janeiro, 2006.

[2] HEFEZ, A. Elementos de Aritmética, 2a ed. Textos Universitários, SBM, Rio de Janeiro, 2011.

[3] Revista do Professor de Matemática (RPM), n° 31, SBM, 1996.