PAINEL I

UMA NOVA FÓRMULA

A RPM recebeu de Álefe Felipe Gonzales Pereira Dias, de 15 anos, aluno da 1a série do ensino médio e participante do PIC – Programa de Iniciação Científica da OBMEP, um relato sobre a forma criativa segundo a qual abordou um problema de Matemática.

Nas palavras dele:

“— O exercício pedia para acharmos a soma dos números de 1 a 100, mas eu li que era para acharmos a soma e ainda chegar no zero (colocando sinais de + e de – entre esses números). Comecei a tentar resolver a questão, porém o resultado final não dava certo. Então resolvi criar uma fórmula para essa questão e depois de algumas horas cheguei ao resultado final.

Primeiro, devemos achar o valor da soma dos números de 1 a n. Se der um número par, saberemos que é possível chegar ao zero, pois um número menos o mesmo número é igual a zero. Como nesse caso estamos trabalhando com números naturais, se o valor da soma dos números for ímpar, não dará certo, pois um número ímpar dividido por 2 ocasionará em um número com vírgula. Depois disso, fazemos a raiz desse número. Por que? Porque se somarmos os números de 1 até a raiz quadrada da soma dos números (usando apenas o número antes da vírgula) e subtrairmos o resto até n, chegaremos no zero. É claro que nem sempre dará certo, então fazemos a raiz da raiz da soma dos números. Esse novo número será usado para se conseguir chegar ao zero. Vou dar um exemplo da aplicação dessa fórmula na prática. Para isso, vou usar uma pergunta e responde-la.

Calcule a soma 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100. Pode-se colocar os sinais de + e de – entre os números de modo que o valor da expressão resultante seja igual a zero?

Primeiro temos que descobrir qual é a soma desses números:

que é par e então pode dar 0 colocando sinais de + e de – entre os números de 1 a 100. Dividimos 5 050 por 2 para saber qual o grupo que deveremos somar para subtrair o outro restante. O resultado é igual a 2 525. Agora, fazemos a raiz quadrada de 5 050 e o resultado é aproximadamente igual a 71. Precisamos saber qual é o valor da soma de 1 a 71. Aplicando a fórmula,

Passou em 31 a metade de 5 050, que é 2 525. Então, procuramos um número tal que a soma de 1 até ele seja próxima de 31. Aplicando a fórmula, vemos que a soma dos números de 1 a 8 é igual a 36. Passou de 31 em 5, então tiramos o 5 dos números de 1 a 8. No final, fica assim:

1+ 2 + 3 + 4 – 5 + 6 + 7 + 8 – 9 – 10 – 11 ...– 70
– 71 + 72 + 73 + 74 + ... + 98 + 99 + 100 = 0.

Simples, não?”

A solução de Álefe baseia-se no fato de que a soma dos números de 1 a n é dada pela expressão

ou seja, aproximadamente igual a

Desse modo, para que a soma dos números de 1 a k seja aproximadamente igual à metade da soma S = 1 + 2 + ...+ n, deve-se ter

Ele toma k como o número natural mais próximo a e toma, como primeira aproximação,

1 + 2 + ... + k – (k + 1) – (k + 2) – ... – n.

O resultado não é exatamente zero. Na verdade, é possível demonstrar que a soma 1 + 2 + ...+ k
é uma proximação por excesso de e que o erro cometido é menor do que k, ou seja,

Como r é um dos termos de 1 + 2 + ...+ k, basta trocar o sinal deste termo para que tenhamos

. No caso, basta trocar o sinal do 31.

Álefe demonstrou grande criatividade e iniciativa para resolver o problema e a estratégia escolhida por ele foi diferente. Ele procura obter o erro r somando alguns termos iniciais de 1 + 2 + ...+ k.

Podemos ainda apresentar outras soluções: Como Álefe observou, somente nos casos em que a soma 1 + 2 + ... + n é par há a possibilidade de alterar sinais de modo a obter soma zero. Isso acontece quando um dos números n ou n + 1 é múltiplo de 4 (note que um desses números é par e o outro ímpar; para que o resultado  seja par é preciso que aquele que for par seja múltiplo de 4).

Quando n + 1 é múltiplo de 4 (ou seja, n deixa resto 3 quando dividido por 4), é possível obter soma zero como se segue:

(1 + 2 – 3) + (5 – 6 – 7 + 8) + ....;

novamente, a soma em cada grupo é zero.

PAINEL II

TEOREMA A QUATRO MÃOS

Chico Nery
Colégio San conrado - Campinas
Colégio FAAP - Ribeirão Preto

Trabalho em uma escola em que os plantões são dados pelos próprios professores. Estava saindo da sala na qual havia dado um plantão quando, meio esbaforido, apareceu o Bruno Mendes, excelente aluno, ansioso para falar comigo.

Bruno começou assim: Professor, na aula passada você nos mostrou uma “expansão do teorema de Pitágoras” que diz que “se construirmos, sobre os lados de um triângulo, três figuras semelhantes, tendo esses lados como segmentos homólogos, a área da figura construída sobre a hipotenusa é igual a soma das áreas das outras duas figuras”.

Estou desconfiado, disse ele, que deve haver uma relação entre essas áreas, mesmo que o triângulo não seja retângulo. Algo parecido com a lei dos cossenos, porém concernente às áreas.

Trabalhando na lousa, fomos, a quatro mãos, tirando as seguintes conclusões:

Consideramos um triângulo ABC, não retângulo, cujos lados medem AB = c, AC = b e BC = a, e sobre esses lados construímos três figuras semelhantes de áreas S₁, S₂ e S₃ , tendo os lados a, b e c como segmentos correspondentes.

As duas relações métricas mais conhecidas a respeito dos lados e ângulos desse triângulo são:

I. Lei dos cossenos

II. Lei dos senos

Usando as definições de semelhança e de área, pode-se mostrar que a razão entre as áreas de figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança (ver Medida e Forma em Geometria, Elon Lages Lima, SBM). Então podemos escrever

Bingo! A previsão do Bruno se concretizou, existe sim uma relação entre as tais áreas, que, por parecença, batizamos de “Lei dos cossenos para áreas”.

Aproveitando a emoção por essa descoberta, resolvemos avançar mais um pouco. Da relação II podemos escrever

Uau! Existe também o que resolvemos denominar uma “Lei dos senos para áreas”.

Havia ocorrido ali, naquele inesperado encontro pós plantão, a parceria tão almejada: professor e aluno tirando conclusões interessantes trabalhando em conjunção.