Luciano Aparecido Magrini

Neste artigo vamos apresentar o modelo populacional de Malthus em sua versão discreta. Trata-se de um modelo clássico em dinâmica populacional que pode ser utilizado em sala de aula com alunos do ensino médio.

Além disso, faremos a construção de um modelo malthusiano para a população do município de São Paulo e mostraremos que o erro pode se manter aceitável, desde que os intervalos de tempo permaneçam pequenos.

Thomas Malthus (1766 -1834) era um religioso e economista britânico, que estava convencido de que as populações humanas, se não limitassem a natalidade, estariam fadadas à fome e à destruição, pois “enquanto os recursos crescem em progressão aritmética, a população cresce em progressão geométrica”. Isso ocorreria porque a cada instante a população cresceria a uma taxa proporcional à população presente, sendo essa a hipótese principal do modelo malthusiano.
Em geral, em estudos de população, a unidade de tempo usada é o ano. Assim, se, a partir de um certo ano inicial, a população no ano n for P_n, então a hipótese de que a população cresce em progressão geométrica traduz-se como:

P_n /P_n-1 , onde a constante de proporcionalidade r é chamada de taxa de crescimento ou declínio conforme seja positiva ou negativa. Em populações em que a migração é desprezível, essa constante pode ser tomada como a diferença entre a taxa de natalidade e a taxa de mortalidade.

Sendo P₀ a população inicial em um certo ano tomado como ano zero, segue:

P₁ = rP₀, P₂ = r²P₀, P₂ = r²P₀, etc.

De um modo geral,

P_n = rⁿP₀

é a equação que expressa o modelo malthusiano de população.

Deve ser observado que a variação bruta da população do ano para o ano é P_n – P_n–1, enquanto a variação relativa é uma constante, em geral fornecida em forma de porcentagem.

Tomemos um exemplo. Na Tabela 1 abaixo, estão registrados os dados da população do município de São Paulo entre os anos de 2000 e 2005 (estamos considerando o ano de 2000 como o tempo inicial).

Observe que a razão r não é constante para essa população. Na realidade, a taxa anual está decrescendo, o que significa que esta população não segue o modelo de Malthus. Por exemplo, a população cresceu 0,87% de 2000 para 2001, cresceu 0,84% de 2001 para 2002, e assim por diante.

É comum também, em Demografia, considerar a variação da população de 10 em 10 anos ou de 5 em 5 anos, seja porque esses são os intervalos entre os Censos ou entre as contagens de população, seja porque nas declarações de ano de nascimento existe uma “atração” pelos algarismos finais 0 e 5. Nesse caso, deduz-se a variação anual, suposta constante, para dar uma ideia da evolução do crescimento. Por exemplo, na Tabela 1, se a taxa anual fosse realmente constante entre 2000 e 2005, deveríamos ter

o que significa que entre os anos de 2000 e 2005 a população em estudo cresceu, em média, cerca de 0,81% ao ano.

Se usarmos essa taxa como taxa anual constante, obteremos a “projeção” de população obtida na coluna 3 da Tabela 2, seguindo estritamente o modelo malthusiano

P_n = 1,008134ⁿ ∙ 10434252.

Abaixo, na Tabela 2 estão apresentados os dados oficiais com as respectivas projeções pelo modelo malthusiano e os erros percentuais (os dados foram arredondados para o inteiro mais próximo no caso da projeção e para duas casas decimais no caso do erro percentual).

Vemos assim que o modelo de Malthus, apesar de simplista e de não considerar as especificidades de uma cidade como São Paulo e nem fatores como imigração e migração se adapta bem à realidade para períodos pequenos de tempo. Contudo, como já mencionado, o crescimento exponencial de uma população não se mantém para longos períodos de tempo e essa é uma das principais críticas a esse modelo de dinâmica populacional.

Sugerimos ao leitor que exercite o funcionamento do modelo malthusiano em outros dados populacionais e que os apresente em sala de aula e também que busque na literatura outros modelos de dinâmica populacional como o modelo de Verhulst, o modelo de Gompertz e outros.

THOMAS MALTHUS Thomas Robert Malthus (Rookery, perto de Guildford, 14 de fevereiro de 1766 — Bath, 23 de dezembro de 1834) foi um economista britânico. É considerado o pai da demografia por sua teoria para o controle do aumento populacional, conhecida como malthusianismo. Essa teoria tem como princípio fundamental a hipótese de que as populações humanas crescem em progressão geométrica. Malthus estudou possibilidades de restringir esse crescimento, pois os meios de subsistência poderiam crescer, segundo ele, somente em progressão aritmética.

REFERÊNCIAS

[1] MAGRINI, Luciano A. Modelos matemáticos e aplicações ao Ensino Médio. 2013. 122f. Dissertação (Mestrado em Matemática em Rede Nacional) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Neto”, Rio Claro, 2013.

[2] BASSANEZI, Rodney C. Ensinoaprendizagem com modelagem matemática. 3 ed. São Paulo: Editora Contexto, 2011.

[3] NEVES, Djairo G. F. Equações diferenciais aplicadas. 3 ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012.