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Aldo Vignatti INTRODUÇÃO Os axiomas de Peano constituem um modelo da construção dos números naturais, sendo o terceiro desses axiomas conhecido como o Princípio da Indução Finita. Mesmo sendo uma ferramenta importante para demonstrações de resultados envolvendo números naturais, muitas vezes esse Princípio não é ensinado para os alunos do ensino básico. Apresentaremos aqui um jogo usando palitos de fósforo que é de fácil compreensão, atraente aos alunos e que possibilita ao professor introduzir o Princípio da Indução Finita de uma forma diferente e divertida, tornando o aprendizado mais acessível para o aluno. DESENVOLVIMENTO Vamos exemplificar como se joga considerando o caso de 8 palitos. Para iniciar o jogo coloque os 8 palitos um ao lado do outro conforme a figura 1A. O objetivo é cruzar os palitos como na figura 1B, formando quatro pares de palitos.
Para atingir o objetivo será permitido ao jogador mover um palito “saltando” sobre dois palitos (e somente dois) e cruzando com o palito seguinte (figura 2A). Observe que saltar sobre um par de palitos é o mesmo que saltar sobre dois palitos (figura 2B).
Vamos exibir em seguida, uma solução para o caso de 8 palitos.
A nossa orientação é que o leitor pare agora a leitura e divirta-se tentando alcançar o objetivo do jogo com 10 palitos, pois essa atitude vai facilitar a compreensão do que virá a seguir. Depois de alcançado o objetivo do jogo para 10 palitos será natural a seguinte pergunta: é possível alcançar o objetivo com quais quantidades de palitos? O leitor deverá perceber que é necessario uma quantidade par, digamos 2n, de palitos e que se o primeiro movimento for, por exemplo, o de mover o palito de posição 2n – 3 sobre o da posição 2n, então o jogo será reduzido para o caso de 2n – 2 palitos, ou seja, se o jogador souber como alcançar o objetivo do jogo com 2n – 2 palitos então ele saberá com 2n palitos. Essa última frase nos leva a pensar na quantidade mínima em que é possível alcançar o objetivo do jogo. Não é difícil verificar que o objetivo não pode ser alcançado com 4 ou 6 palitos e como exibimos uma solução para 8 palitos, concluímos que a quantidade mínima de palitos é 8. O Princípio da Indução ou Indução Finita em Matemática é um método de prova usado para demonstrar a verdade de uma frase F(n) para todo numero natural n a partir de um número k fixado, e é baseado na vericação de dois passos:
Vericados esses dois passos conclui-se que a frase F(n) é verdadeira para todo número natural igual ou maior do que k. Queremos, no nosso caso, verificar que o objetivo do jogo de palitos é alcançado para números pares maiores ou iguais a 8 e a frase que vamos considerar é F(n): É possível alcançar o objetivo do jogo para todo número par 2n com n ≥ 4. O Passo 1 é verificado para n = 4, enquanto o Passo 2, para n > 4, como já comentamos anteriormente, é verificado com o primeiro movimento do palito de posição 2n – 3 cruzando com o da posição 2n. Esse movimento diz que se o objetivo for alcançado com 2n – 2 = 2(n – 1) palitos então será alcançado com 2n palitos, ou seja, se F(n – 1) é verdadeira então F(n) é verdadeira. Com os dois passos verificados, concluímos que a frase F(n) é verdadeira para todo n natural maior ou igual a quatro. Seria interessante ainda o professor discutir, em sala de aula, algumas modificações do jogo. Por exemplo, em vez de pular dois palitos, pular três palitos, ou de forma geral, pular um número fixado, ímpar, de palitos. A discussão deve ser sobre a possibilidade de atingir o objetivo de cruzar os palitos nessas novas condições. Para responder a essa pergunta, basta perceber que no último movimento o jogador deverá pular um numero ímpar de palitos, contrariando o fato de os palitos pulados estarem cruzados. Isso mostra a impossibilidade de atingir o objetivo do jogo com essas regras. A possibilidade de atingir o objetivo do jogo pulando 2n palitos, para n > 1, é uma situação que ainda não foi discutida. Divirta-se. CONCLUÇÃO Ao professor interessado em usar esse jogo, recomendamos propor inicialmente a situação com 10 palitos para que o aluno pense no primeiro movimento associado ao Passo 2 da Indução Finita. Permitir aos alunos a reflexão na resposta da pergunta de com quais quantidades de palitos é possível alcançar o objetivo, é essencial para a compreensão da associação do jogo com a Indução Finita. Esse jogo foi proposto ao Professor Aldo Vignatti, quando era criança e ele não tem referências de seu surgimento, por isso nossas referências serão somente sobre indução finita.
REFERÊNCIAS [1] Domingues, Higyno H. e Iezzi, Gelson. Álgebra Moderna. 4a ed. Editora Atual. São Paulo-SP, 2003. [2] Lima, Elon Lages. Analise Real: Funções de uma variável. Vol. 1. 8a ed. Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro, 2006. [3] Pereira, Paulo Cesar Antunes. O Princípio da Indução Finita - uma abordagem no ensino médio. Dissertação de Mestrado. Rio de Janeiro, 2013. |
