RESPONSÁVEIS

Maria Elisa E.L. Galvão e Renate Watanabe
Envie suas perguntas para RPM – O Leitor Pergunta
IME/USP – Cidade Universitária
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05508-090 – São Paulo, SP
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A RECÍPROCA É VERDADEIRA?

Escreve um leitor de Campo Grande: Consegui demonstrar que a função logarítmica transforma uma progressão geométrica (PG) de termos positivos em uma progressão aritmética (PA), mas não consegui demonstrar a recíproca desse teorema. A recíproca é verdadeira?

RPM

Não, a recíproca não é verdadeira.

2, 4, 8, 16, 32, ... é uma PG de termos positivos com termo geral a_n= 2_n.

7, 8, 9, 10, 11, ... é uma PA com termo geral b_n= 6 + n .

f(a_n) = b_n é uma função que transforma uma PG numa PA, mas f não é uma função logarítmica, pois

f(4 × 8) = f(32) = 11,

f(4) + f(8) = 8 + 9 = 17,

logo, f(4 × 8) ≠ f(4) + f(8).

FATORAÇÃO

Escreve um leitor de Porto Alegre: Solicito auxílio na resolução do problema: “sabe-se que x, y e z são números inteiros e que:

(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = xyz.

Prove que x³ + y³+ z³ é divisível por x + y + z + 6.”

RPM

Temos:

(x – y)² + (y – z)²+ (z – x)² = 2(x²+ y² + z² – xy – xz – yz) = xyz

É preciso lembrar a seguinte identidade que está em livros e na internet:

x³ + y³+ z³ – 3xyz = (x + y + z)(x²+ y² + z² – xy – xz – yz).

A partir dela obtém-se:

x³ + y³+ z³ – 3xyz = (x + y + z)xyz/2, ou seja,
x³ + y³+ z³= xyz(6 + x + y + z)/2

Mas x, y e z não podem ser todos ímpares, pois, se fossem, na igualdade da hipótese, o primeiro membro seria par e o segundo ímpar. Logo, xyz/2 é um número inteiro e então 6 + x + y + z é um divisor dex³ + y³+ z³.

UM TESTE

De um leitor de Aiuaba:

“Olá, pessoal, gostaria que resolvessem a questão para mim. Já tentei e não consegui.

RPM

Podemos escrever e, desenvolvendo a expressão do lado direito, obtemos o sistema:

Usando a fatoração de 26 = 2 × 13, observamos que as possíveis soluções inteiras da primeira equa ção são a = 2 e b = ±1; o sinal negativo da segunda

equação nos leva à solução a = 2, b = – 1.

Daí, temos a solução:

Esse número não aparece nas alternativas; no entanto, como , temos e a alternativa correta é a B.

(Problemas semelhantes foram tratados na RPM 62, no artigo Parece, mas não é.)

EXISTE SOLUÇÃO ANALÍTICA?

De um leitor de São José dos Campos: “Sou assinante da RPM e, por fim, resolvi pedir ajuda sobre uma equação que estou tentando resolver há anos! A solução é imediata, mas não consigo chegar nela analiticamente. Existe uma solução analítica da equação abaixo?

RPM

Cremos que não existe uma solução analítica, mas é possível resolver a equação.

Da igualdade podemos observar:

1. Se y > 0, então 2^y > 1 e 3^y > 1 e as respectivas raízes quadradas são maiores do que 1. Portanto, a soma delas é maior que 2.

2. Se y < 0, então 2^y < 1 e 3^y < 1 e as respectivas raízes quadradas são menores do que 1. Portanto, a soma delas é menor que 2.

Logo, teremos a soma igual a 2,se e somente se y = 0 ou se e somente se x = – 1.

RESULTADOS DISCREPANTES

Ainda o leitor de Campo Grande: “Resolvi um exercício trazido por um aluno usando dois caminhos diferentes, mas um dos caminhos dá um resultado absurdo; entretanto, não consigo visualizar tal erro. Eis o problema:

(PUC-Campinas) Seja R um retângulo que tem 24 cm de perímetro. Unindo-se sucessivamente os pontos médios dos lados de R, obtém-se um losango. Qual deve ser a medida do lado desse losango para que sua área seja máxima?

E as minhas soluções:

Sejam x e y as medidas do retângulo e l o lado do losango. Sabemos que x + y = 12 e que a área A do losango é dada por A = xy/2.

De x + y = 12, temos y = 12 – x e então a área do losango é dada pela função

Assim, a área do losango será máxima para x = 6, que é o ponto médio entre as raízes de A(x) = 0, e então y = 12 – 6 = 6.

Finalmente, aplicando o teorema de Pitágoras a um dos triângulos retângulos da figura, temos:

Substituindo x = y = 6, obtemos .

(Alternativa B)

Da relação (1) acima, obtida nos triângulos retângulos, temos a igualdade x² + y² = 4l². (2)

Elevando ao quadrado os dois membros da igualdade x + y = 12 , temos x2 + 2xy + y2 = 144. (3)

Então, lembrando que a área A do losango é dada por A = xy/2 e substituindo (2) em (3), obtemos 4l² + 4A = 144 ou A = 36 – l², o que mostra que A é máxima quando l = 0!!!”

RPM

Se o problema fosse somente de Álgebra, então A = 36 – l² é máxima para l = 0.

Mas o problema é de Geometria: é dado um retângulo de dimensões x e y, y = 12 – x, maiores do que zero, o que implica que o lado l do losango também é uma medida maior do que zero, que é dada em função de x.

Assim, A = 36 – l² assume o valor máximo, quando l assume o mínimo valor possível. Então, a pergunta deve ser:

Para que valores de x, l é mínimo, sendo l obtido da equação (1) com y = 12 – x. A resposta será x = 6 e

UMA QUESTÃO DO ENEM

Ainda do leitor de Aiuaba: “Peço ajuda para resolver uma questão que foi aplicada na prova do
ENEM de 2010 para presidiários. A questão é:

Devido aos fortes ventos, uma empresa exploradora de petróleo resolveu reforçar a segurança de suas plataformas marítimas, colocando cabos de aço para melhor afixar a torre central.

Considere que os cabos ficarão perfeitamente esticados e terão uma extremidade no ponto médio das arestas laterais da torre central (pirâmide quadrangular regular) e a outra no vértice da base da plataforma (que é um quadrado de lados paralelos aos lados da base da torre central e centro coincidente com o centro da base da pirâmide), como sugere a ilustração.

Se a altura e a aresta da base da torre central medem, respectivamente, 24 m e e o lado da base da plataforma mede então a medida, em metros, de cada cabo será igual a

RPM

As bases da torre e da plataforma são quadrados cujos lados medem, respectivamente, portanto, suas diagonais medirão, respectivamente, 12 e 38. Examinando o corte da pirâmide pelo plano que contém sua altura e a diagonal da base, teremos a figura abaixo.

Sendo E o ponto médio da aresta lateral da pirâmide, sua projeção ortogonal F será o ponto médio

do segmento AD. Teremos então as medidas: EF = 12, FB = 19 – 3 = 16 e, no triângulo retângulo BEF, podemos calcular:

BE² = 144 + 256 = 400, o que nos leva à alternativa D.)

UM PROBLEMINHA QUE SE TORNOU PROBLEMÁTICO

Na seção Problemas da RPM 83, pág. 57, está o probleminha 1 e na pág. 40 a resposta: 54 minutos.Muitos leitores observaram que a resposta do probleminha não é 54 e enviaram soluções.

Vamos aqui apresentar o problema, a solução, a resposta correta e um adendo.

O probleminha 1 é:

Exatamente no momento em que o ponteiro das horas passa pelo 12, uma formiga começa a andar ao longo da borda do relógio no sentido anti-horário, partindo do 6, com velocidade constante. Quando a formiga encontra o ponteiro das horas, ela muda de direção e continua a andar na mesma velocidade no sentido horário. Quarenta minutos após o primeiro encontro, a formiga se encontra pela segunda vez com o ponteiro das horas e morre. Quanto tempo a formiga andou?

RPM

O ponteiro das horas anda 30° em 60 minutos, isto é, sua velocidade é por minuto.

Vamos supor que o primeiro encontro da formiga com o ponteiro das horas se deu x minutos após o início do movimento da formiga.

Nesse tempo, considerando o enunciado:

o ponteiro das horas andou e a formiga andou

Passaram-se 40 minutos. Nesse tempo o ponteiro das horas andou e a formiga andou (360 + 20)° = 380°.

A formiga manteve velocidade constante e velocidade = espaço/tempo. Então:

Portanto, a formiga andou durante

(18 + 40) minutos = 58 minutos.

ADENDO

E como surgiu a resposta 54?

Para dar essa resposta, a RPM resolveu, por engano, o problema original que está no livro Hard to-solve brainteasers do qual o probleminha 1 foi adptado. No problema original, a formiga encontra duas vezes o ponteiro dos minutos e não o ponteiro das horas. E o segundo encontro se dá 45 minutos após o primeiro e não 40 minutos depois. Veja o enunciado original e a solução.

Exatamente no momento em que o ponteiro dos minutos passa pelo 12, uma formiga começa a andar ao longo da borda do relógio no sentido anti-horário, partindo do 6, com velocidade constante. Quando a formiga encontra o ponteiro dos minutos, ela muda de direção e continua a andar na mesma velocidade no sentido horário. Quarenta e cinco minutos após o primeiro encontro, a formiga se encontra pela segunda vez com o ponteiro dos minutos e morre. Quanto tempo a formiga andou?

SOLUÇÃO

O ponteiro dos minutos anda 360° em 60 minutos, isto é, sua velocidade é 6° por minuto.

Vamos supor que o primeiro encontro se deu após x minutos do início do movimento da formiga. Nesse tempo, o ponteiro dos minutos andou (6x)° e a formiga, pelo enunciado, andou (180 – 6x)° graus.

Passaram-se 45 minutos. Nesse tempo, o ponteiro dos minutos andou (45 × 6)° = 270° e a formiga andou (360 + 270)° = 630° .

A formiga manteve velocidade constante e velocidade = espaço/tempo. Então:

Portanto, a formiga andou durante

9 + 45 = 54 minutos.