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Eduardo Tengan e Élvia Mureb Sallum
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RPM – Problemas
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As soluções dos problemas 366 a 370 serão corrigidas apenas se enviadas até 20 de novembro de 2014.

366

Dada uma pirâmide triangular, traçar uma seção plana de modo que ela seja um losango. Determinar o lado do losango em termos das arestas da pirâmide.

367

Um conjunto finito S de números naturais é chamado egoísta se o seu tamanho pertence a S. Por exemplo, S = {2, 3} é egoísta pois seu tamanho é 2 e 2 pertence a S. Qual a quantidade
total de subconjuntos egoístas do conjunto

{1, 2, 3, .., 2013, 2014}?

368

Mostre que

1¹⁰ + 2¹⁰ + 3¹⁰ + 4¹⁰ + ... +100¹⁰

é divisível por 101.

369

Dados um triângulo ABC e uma reta r, como na figura, construir, com régua e compasso, um triângulo com um vértice em A e os outros dois vértices na reta r, com mesma área do triângulo ABC.

370

No plano cartesiano, pintamos de azul todos os pontos da forma (3x + 2y, 5x – y) com x e y números inteiros. Os demais pontos são pintados de vermelho. Escolhendo-se aleatoriamente um ponto (a, b), com coordenadas inteiras, qual é a probabilidade de que ele seja azul?

PROBLEMINHAS

1

Retire 10 dígitos do número

de modo que o número remanescente seja o maior possível.

2

Gafanhotos estão brincando de pular ao longo de uma rota. Em cada vez, um gafanhoto pode pular sobre um outro gafanhoto, mas não sobre dois outros gafanhotos. Os gafanhotos podem voltar às suas posições relativas depois de 1991 pulos?

3

Distribua 127 moedas de 1 real entre sete porta-moedas de modo que qualquer soma inteira de 1 até 127 reais possa ser paga sem abrir os porta-moedas.

SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS PROPOSTOS NA RPM 82

356

Para todo natural n ≥ 3, prove que existe no plano um conjunto de n pontos tais que
a) a distância entre dois desses pontos é irracional.
b) cada conjunto de três desses pontos determina um triângulo não degenerado de área racional.

SOLUÇÃO

Considere a parábola dada por x = y². Dado n ≥ 3, procuraremos os n pontos nessa parábola.

Se a, b e c são naturais tais que 0 < a < b < c, considere os pontos

A = (a², a), B = (b², b) e C = (c², c).

Temos

que é um número irracional, pois é um produto de um número natural por um número irracional.
Do mesmo modo, mostra-se que AC e BC são irracionais.

A área do triângulo ABC é dada por

que é um número racional não nulo; logo, A, B e C não são colineares.

Assim, entre os n pontos

(1², 1); (2², 2); (3², 3); ...; (n², n)

não há três colineares e eles resolvem a questão.

(Solução adaptada das enviadas por diversos leitores.)

357

Mostre que um polinômio do tipo

com coeficientes reais não pode ter todas as raízes reais.

SOLUÇÃO

Sejam x1, x2, x3, ..., xn as raízes do polinômio. Nenhuma delas é nula, pois o seu produto é igual a

Dividindo todos os termos de p(x) por xⁿ e fazendo a substituição, obtemos o polinômio

cujas raízes são

Portanto, nem todas as raízes de q(y) são reais; logo, nem todas as raízes de p(x) são reais.

(Solução enviada por diversos leitores.)

358

Se a, b, c são números reais tais que a + b + c = 0, mostre que

SOLUÇÃO

De a + b + c = 0, temos a + b = – c , logo (a + b)³ = – c³, (a + b)⁵ = – c⁵ e (a + b)² = c² ; então:

Agora é só observar que (1) = (2) × (3).

(Solução enviada por diversos leitores.)

359

Duas casas de um tabuleiro 7 × 7 são pintadas de amarelo e as outras são pintadas de verde. Duas pinturas são ditas equivalentes se uma é obtida a partir da outra por uma rotação do tabuleiro. Quantas pinturas não equivalentes existem?

SOLUÇÃO

Inicialmente, vamos analisar quantas figuras equivalentes são obtidas a partir de uma determinada pintura.

1° caso: As duas casas pintadas de amarelo não são simétricas em relação à casa central (assinalada com X). Neste caso, temos quatro pinturas distintas que são equivalentes, como se pode observar no exemplo a seguir.

2° caso: As duas casas pintadas de amarelo são simétricas em relação à casa central (assinalada com X). Neste caso, temos duas pinturas distintas que são equivalentes, como se pode observar no exemplo a seguir.

Vamos calcular o número total de pinturas possíveis. Temos 49 casas para escolher para a primeira pintura de amarelo e 48 para a segunda; como a ordem de escolha da casa não muda a pintura, temos um total de

 pinturas possíveis.

Para o 2° caso, são  pinturas possíveis.

Para o 1°, caso são 1152 pinturas possíveis: o total de 1176 pinturas, tirando as 24 do 2° caso.

Assim, temos:

 pinturas não equivalentes.

(Solução enviada por Francisco de Sousa.)

360

Na figura, temos:

• um ponto C qualquer pertencente a um segmento AB,
• semicírculos de diâmetros AB, AC e BC,
• o segmento CD perpendicular a AB e
• EF, que é tangente aos dois semicírculos menores.

Mostre que ECFD é um retângulo.

SOLUÇÃO

O segmento AD corta a circunferência de centro O em G e BD corta a de centro O’ em H.
O quadrilátero CGDH é um retângulo, pois três de seus ângulos são inscritos em semicircunferências.

Logo, 𢈌GH = ∠GCD (=β) ; e, como ∠OCG = ∠OGC (=α ) e α + β = 90° (pois CD é perpendicular a AB), segue que GH é tangente à circunferência de centro O em G. Do mesmo modo, GH é tangente à circunferência de centro O’ em H.

Assim, G = E e H = F e o quadrilátero CEDF é o retângulo CGDH.

RESPOSTAS DOS PROBLEMINHAS

1. 553451234512345

2. Não. Depois de cada pulo, a posição relativa muda.

3. 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64.