Lenimar Nunes de Andrade
UFPB

INTRODUÇÃO

Em 1593, Adriaan van Roomen, professor de Matemática e Medicina na Bélgica, publicou um trabalho intitulado Ideae Mathematicae, que continha, entre outros problemas propostos, algo bastante desafiador: uma equação algébrica de grau 45. Com a nossa notação atual, pode ser escrita na seguinte forma:

x45– 45x43 + 945x41 – 12300x39 + 111150x37  – 740259x35 + 3764565x33  – 14945040x
+ 46955700x29  – 117679100x27 + 236030652x25  – 378658800x23 + 483841800x21  – 488494125x19 + 384942375x17  – 232676280x15 + 105306075x13  – 34512075x11 + 7811375x9– 1138500x7 + 95634x5– 3795x3 + 45x = A,  sendo

Na época, o embaixador belga apresentou esse problema a Henrique IV, rei da França, e chegou a dizer que ninguém da França conseguiria resolvê-lo. O rei convocou os franceses para “salvarem a honra da nação”.

E foi então que François Viète (1540-1603) entrou nessa história.

Sem demora, Viète observou que essa equação poderia ser obtida por meio da utilização de fórmulas do seno do múltiplo de um arco, e obteve muitas das suas raízes. Diversos assuntos podem ser abordados na resolução desse problema.

SENO E COSSENO DE ARCOS MÚLTIPLOS

Na época de Viète, eram conhecidas fórmulas equivalentes ao que hoje denotamos por

cos(a + b) = cosa cosb – sena senb     e

sen(a + b) = sena cosb + senb cosa

A partir daí, podemos fazer  a = b = a  para obter cos2a  e  sen2a.  Depois, podemos fazer  a = 2a  e    b = a  para obter  cos3a  e  sen3a   e também  a = 3a   e  b = 2a  para obter cos5a  e  sen5a: 

cos2a = cos(a + a) = cos2a – sen2a

sen2a = sen(a + a) = 2sena cosa

cos3a= cos(2a + a) = cos2a sena – sen2a cosa =

4cos3a – 3cosa,

expressão obtida utilizando as fórmulas para  cos2a  e  sen2a  anteriores e também  cos2a + sen2a = 1.

De modo análogo, obtemos

sen3a = –4sen3a + 3sena.

Ainda,

cos5a = cos(3a + 2a) = cos3a sen2a – sen3a cos2a

= 16cos5a – 20cos3a + 5cosa  e, de modo análogo,

sen5a = sen(3a + 2a) = sen3a cos2a + sen2a cos3a  

ou  sen5a = 16sen5a – 20sen3a + 5sena.

De modo geral, dado um inteiro positivo  n,  é possível obter  cosna  e  senna como polinômios em cosa  e  sena.

Substituindo agora

a = 12o = rd

na equação

cos5a = cos(3a + 2a)  = 16cos5a – 20cos3a + 5cosa,

obtemos

cos60o = =16cos512o − 20cos312o + 5cos12o,

ou seja,

32cos512o − 40cos312o +10cos12o −1 = 0,

o que significa que cos12o é raiz da equação

p(x) = 32x5 – 40x3 + 10x – 1 = 0.

As possíveis raízes racionais dessa equação são:

1,  .

Por tentativas, encontramos x = como única raiz racional dessa equação e, dividindo  p(x)  por x - ,  obtemos

p(x) = 2(x − )( 16x4 + 8x3 − 16x2 − 8x + 1).

Usando um método como o que foi apresentado em [3], podemos determinar que as raízes da equação

16x4 + 8x3 −16x2 −8x +1 = 0

são:
 

e

Levando em conta que  cos12o  > cos60o  = 1/2, escolhemos a única opção para  cos12o entre as raízes obtidas anteriormente:

cos12o =

e, a partir daí, podemos calcular o sen12o :

sendo  A  o número dado no início deste texto.

A EQUAÇÃO DE VON ROOMEN

A equação que aparece no início deste texto é de grau  45.  Como  45 = 5 × 3 × 3,  calculamos o seno de  9a = 3 × 3a  e também o seno de  45a = 5 × 9a.  Para isso, substituímos a por  3a  na fórmula

sen3a = – 4sen3a + 3sena  e obtemos 
sen(3 × 3a) = – 4sen33a + 3sen3a,  ou seja,
sen(9a) = – 4(–4sen3a + 3sena)3 +
3(–4sen3a + 3sena),  que pode ser simplificada para
 sen(9a) = 256sen9a – 576sen7a + 432sen5a –
120sen3a + 9sena.

Nessa fórmula, substituindo a por  5a, obtemos

sen(9 × 5a) = 256sen95a – 576sen75a +

432sen55a – 120sen35a + 9sen5a

e agora, substituindo  sen5a  por

sen5a = 16sen5a – 20sen3a + 5sena,  ficamos com
sen45a = 256(16sen5a – 20sen3a + 5sena)9 –
576(16sen5a – 20sen3a + 5sena)7 +
432(16sen5a – 20sen3a + 5sena)5  –
120(16sen5a – 20sen3a + 5sena)3  +
9(16sen5a – 20sen3a + 5sena).

Efetuando os cálculos e agrupando os termos de mesmo expoente, verificamos que o coeficiente de  sen45a  é igual   a 244,  ou seja, o termo de maior grau do polinômio em sena  é

244sen45a =

Fazendo  2 sena = x, isto é, sena = obtemos

sen45a = – 6150x39 +

55575x37 ,

que equivale a

2sen45 = x45 − 45x43 + 945x41 − 12300x39 +

111150x37 − 740259x35 + ... + 45x.

Esse polinômio de grau 45, na variável  x,  que aparece no segundo membro é o mesmo que está na equação de Van Roomem, do início deste texto.

Lembrando que mostramos que sen12o = A, temos que a equação de Van Roomen é equivalente a

2sen45a =  2sen12o = 2sen, ou

sen45a =  sen.

As soluções dessa equação trigonométrica são:

45a =  + 2kp, k   .

Outras soluções como

45a = (p – ) + 2np, n   .

são repetições das já obtidas anteriormente.

Fazendo  k  assumir valores de 0  a 44,  obtemos 45 diferentes valores para a e, lembrando que x = 2 sena,  obtemos todas as raízes da equação polinomial, que são:

x = 2sen( + ), k = 0,1,2,...,44.

Alguns exemplos dessas raízes são:

k = 0:   a =   x = 2sen() @ 0,00930838

k = 1:   a =   x = 2sen() @ 0,28756098

k = 2:   a =   x = 2sen() @ 0,56021653

k = 44:   a =   x = 2sen() @ 0,26912538

E, dessa forma, todas as raízes podem ser calculadas.

Viète foi o primeiro matemático a fazer uso significativo de métodos algébricos na trigonometria. Sua solução foi apresentada no trabalho intitulado Responsum, em 1595.  E, com isso, acabara-se a disputa para resolver esse problema, e Van Roomen chegou até a viajar para a França para conhecer Viète pessoalmente.

EXERCÍCIO PROPOSTO

Para encerrar, deixamos para o leitor uma equação “à moda Van Roomen”

x17 – 17x15 + 119x13– 442x11 + 935x9

– 1122x17 + 714x5– 204x3 + 17x =

para ser resolvida como exercício. Uma das raízes é

2sen @ 0,080784201.

REFERÊNCIAS

[1] Boyer, C. B., História da Matemática, Ed. Edgard Blücher Ltda., 1974.
[2] Maor, E., Trigonometric Delights, Princeton University Press, 1998.
[3] Moreira, C. G., RPM 25, Uma solução das equações do 3 e 4 graus, 1994.