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PROGRAMA OFICINA DE FORMAÇÃO - PROF OBMEP Yuriko Y. Baldin Qual é a relação entre os conteúdos programáticos oficiais de Matemática e as provas da OBMEP? Como abordar os problemas das provas da OBMEP e do Banco de Questões em sala de aula? Como orientar meus alunos para terem um bom desempenho nas provas da OBMEP? Como trabalhar com Clubes de Matemática na escola em que atuo? Se a resposta para alguma dessas perguntas ficou difícil, saiba que você pode encontrá-las no Programa Oficinas de Formação (PROF), da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP). Iniciado em 2012, em quatro polos, como projeto piloto, o Programa se desenvolve por meio de parceria entre a OBMEP e as Secretarias de Educação (estaduais ou municipais) e está fundamentado na metodologia de Resolução de Problemas, preconizada nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN). Tem como principal foco utilizar problemas das provas e dos Bancos de Questões da OBMEP, em oficinas “Mãos na Massa” e fórum de discussões, trabalhando a metodologia de resolução de problemas. No PROF, os participantes vivenciam a metodologia de Resolução de Problemas nas atividades presenciais, e em um fórum específico são acompanhados por um professor moderador. Em cada oficina presencial, os participantes resolvem problemas das provas e do Banco de Questões da OBMEP, selecionados dentro dos temas relevantes da matemática curricular, e as discussões que acompanham o aprofundamento teórico dos conteúdos incluem exploração de estratégias de resolução, análise qualitativa de erros que podem aparecer nas aulas, e também aprendem como a proposição de questionamentos adequados, que instigam a investigação das situações-problema, pode estimular o desenvolvimento do raciocínio e a aprendizagem de conceitos matemáticos. Materiais alternativos para uso em sala de aula como recursos computacionais, materiais concretos, vídeos, e outros, são também explorados. Dentre as tarefas que os participantes realizam dentro do PROF, uma tarefa obrigatória se destaca: todos os participantes precisam planejar e executar uma intervenção na sala de aula em que atua para consolidar a metodologia aprendida no programa e levar efetivamente a resolução de problemas estimulantes da OBMEP para as mãos de seus alunos. O PROF prevê, na sua estrutura, espaço para uma atividade presencial concentrada em dias consecutivos no final de cada Módulo, em que os participantes apresentam e socializam os resultados obtidos na sua escola e aprofundam as discussões e conhecimentos.
A ESTRUTURA DO PROF O PROF visa essencialmente à escolaridade do 6 O PROF é constituído de quatro módulos
A participação no PROF está condicionada a um acordo que deve ser efetivado entre uma Secretaria de Educação (estadual ou municipal) com OBMEP/IMPA e os Coordenadores Regionais (CR ou CRIC) podem ser os primeiros intermediários para instalar um polo do PROF numa região. A lista de coordenadores regionais da OBMEP está no site: //www.obmep.org.br. Todo material do PROF é produzido cuidadosamente pela equipe coordenadora e disponibilizado para uso uniforme em todos os polos.
EXEMPLO DE ATIVIDADES DE UMA OFICINA PRESENCIAL A fim de ilustrar como o material do PROF é desenvolvido e aplicado numa oficina presencial, apresentamos a seguir uma sequência didática utilizada na Oficina 1 do PROF 1, para explorar a questão número 36 do Banco de Questões da OBMEP 2012. O enunciado da questão é: Uma folha retangular de 20cm por 30cm foi cortada ao longo das linhas tracejadas AC e BD em quatro pedaços: dois triângulos iguais e dois polígonos iguais de cinco lados cada um, como na figura abaixo. Os segmentos AC e BD têm o mesmo comprimento e se encontram no centro do retângulo formando ângulos retos.
a) Qual é o comprimento do segmento AB? b) Qual é a área de um pedaço triangular? c) E de um pedaço de cinco lados? d) Com os quatro pedaços podemos montar um quadrado com um buraco retangular, como na figura abaixo. Qual é a área do buraco?
Para preparar a abordagem desse problema, iniciou-se a sequência com a seguinte questão: De quantas maneiras distintas podemos dividir um retângulo em duas partes de mesma área, utilizando um segmento de reta? Na oficina, esse problema é trabalhado inicialmente com uma atividade investigativa com dobraduras de papel.
Para aprofundar essas noções de igualdade de áreas (ainda por sobreposição das partes destacadas das figuras), pode ser utilizado o recurso de recortar a figura pelo vinco da dobra produzida. Se a proposta de recortar não aparece, a pergunta possível poderia ser: como fazer para sobrepor as áreas como fizemos antes no caso das dobras iniciais pelos pontos médios de lados paralelos? Se não surgirem outras dobras, o professor poderá indagar o que ocorre quando se marca o vinco segundo a dobra obtida pela sobreposição de dois vértices diametralmente opostos. A sequência de ilustrações abaixo apresenta o que ocorre e como proceder. Para generalizar essa situação, uma pergunta possível é a seguinte: Escolhendo uma medida a partir de um dos vértices do retângulo, considere o segmento com extremidades sobre dois lados opostos do retângulo e cada uma delas à “mesma distância” x a partir de dois vértices opostos. O que acontece?
A figura abaixo mostra um corte ou dobra desse tipo:
Como se trabalha com a metodologia de resolução de problemas, os questionamentos são importantíssimos para garantir a compreensão e participação de todos os alunos.
Na atividade são sugeridos os seguintes questionamentos a partir desse tipo de recorte: A medida x tem algum tamanho predeterminado?
Para explorar esses questionamentos, uma atividade investigativa utilizando o software GeoGebra está ilustrada na página anterior. Após a realização das atividades manipulativas, retoma-se o problema e indaga-se se as atividades realizadas fornecem condições para dar uma resposta para o problema proposto inicialmente. Somente aqui, é discutida a existência de infinitos cortes que produzem figuras de mesma área. O destaque das atividades propostas é que a manipulação vivenciada, até este ponto da oficina, usando dobraduras, recortes ou o software GeoGebra, além de permitir a constatação por visualização, fornece elementos para um raciocínio dedutivo que elucida os pontos essenciais da justificativa rigorosa da resposta intuída. Como consequência das atividades, pode-se constatar que as diagonais do retângulo se encontram num ponto que é também o encontro da reta vertical com a horizontal que repartiu o retângulo em duas partes de mesma área. Nota-se que uma reta que divide o retângulo em dois trapézios de mesma área também passa por esse ponto, que apropriadamente é chamado o CENTRO do retângulo.
A discussão sobre o significado de CENTRO do retângulo segue com os participantes desenhando o círculo circunscrito a retângulo e justificando o fato observado ou intuído sobre o raio do círculo. A discussão é conduzida para que os próprios alunos sistematizem a propriedade fundamental de que o centro é o ponto médio das diagonais e também de todos os segmentos que passam pelo centro com extremidades nos lados opostos do retângulo. Neste momento discute-se outra propriedade interessante do retângulo:
As explorações anteriores fazem notar que, em geral, nem as diagonais de um retângulo são perpendiculares pelo centro, tampouco é reto o ângulo no centro formado pelas retas que cortam os lados opostos do retângulo em pontos distantes x unidades a partir dos vértices. Então um novo questionamento interessante pode ser feito: Tais fatos podem acontecer? Se for possível, quais são as condições em que ocorrem?
Na investigação são possíveis os questionamentos:
Esses questionamentos têm como objetivo chegar à caracterização de um quadrado como um retângulo cujas diagonais são perpendiculares no centro. Após essas investigações iniciais, os participantes são levados à discussão da Questão 36 do Banco de Questões da OBMEP 2012. Os questionamentos iniciais propostos são os seguintes:
Arquivos com software GeoGebra permitem explorar dinamicamente esses questionamentos. Toda oficina do PROF discute a relação que existe entre os conteúdos e metodologias trabalhadas na resolução dos problemas da Oficina com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) – 3 As atividades do PROF enaltecem o papel do professor no uso da metodologia, e na condução de aprendizagem efetiva de conteúdo e aquisição de habilidades necessárias no Ensino Fundamental por seus alunos, implicando a necessidade de uma mudança da prática do professor na sala de aula. Finalizando, enfatiza-se que todas as atividades são desenvolvidas para que o participante vivencie a possibilidade de se ensinar Matemática a partir de problemas, e não apenas explorar problemas a partir de conteúdos matemáticos já abordados. O conteúdo aqui referido é parte do Livro 1, material didático publicado pelo PROF - OBMEP.
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oficinas presenciais, com 08 horas de duração, cada uma;
A sugestão inicial é que o aluno produza uma dobra no papel de modo que as duas partes resultantes fiquem com mesma área e que justifique como pode garantir que as áreas das figuras produzidas sejam iguais. Aqui, quase todas as dobras inicialmente produzidas resultam em figuras que podem ser sobrepostas (dobra pelo ponto médio de lados paralelos) e assim a justificativa é imediata nesses casos. A experiência tem mostrado que essas são as primeiras dobras sugeridas pelos participantes. No entanto, na dobra pela diagonal (que também aparece com relativa frequência), a forma de comparar as áreas não é tão evidente.
