PAINEL I: MAIS UM SANGAKU

Tiago Santos Feitosa (Feitosa)

Já publicamos anteriormente na RPM 49 (Sangaku – A Geometria sagrada) e na RPM 80 (Um sangaku difícil) artigos apresentando sangakus, ou seja, gravuras com problemas geométricos, registradas em tábuas de madeira,  feitas no Japão, a partir da  segunda metade do século XVII. Essas gravuras, em geral, tinham autoria múltipla de matemáticos profissionais e amadores e eram simultaneamente obras de arte e oferendas aos deuses nos santuários xintoístas e templos budistas. Eram também uma forma de lançar desafios matemáticos.

Há, nos sangakus, um grande número de problemas envolvendo circunferências e elipses com grau de dificuldade, em geral, elevado.

Para melhores informações sobre os sangakus e sua história, sugerimos aos interessados a leitura dos textos introdutórios dos dois artigos citados.

Neste painel vamos apresentar mais um sangaku que achamos ser interessante para os leitores da revista.

O problema apresentado é o seguinte: Na figura, as três circunferências de raios  a,  b  e  c  são simultaneamente tangentes duas a duas e a uma reta. Prove que

Solução

No triângulo retângulo  O1O2L,  observando que

O1O2 = a + b  e  O1L = a – b,

temos pelo teorema de Pitágoras:

(a + b)2 = (LO2)2+ (a – b)2

(LO2)2 = 4ab  ou  LO2 = 2.

Analogamente, nos triângulos retângulos O1O3M  e O2O3N,  observando que

O1O3 = a + c;  O1M = a – c;  O2O3= b + c  e

O2N = b – c, obtemos as igualdades

MO3 = 2 e NO3 = 2.

Como  JK = MO3 + NO3 = LO2, temos

= = .

Dividindo todos os termos por ,  obtemos

PAINEL II: A SOLUÇÃO COMPLETA

Sérgio Orsi

Na seção Em Classe da RPM 65 é apresentado o problema: “colocar os números inteiros de  1  a  9,  sem repetição, sobre os lados de um triângulo equilátero de modo que a soma dos quatro números em cada lado seja igual a  20”.  A figura abaixo mostra duas soluções do problema.

Depois disso, na seção Painéis da RPM 81, foi publicada uma generalização do problema para polígonos regulares, com um número qualquer de lados, e foi apresentada uma estratégia para obter uma solução. Há um adendo da RPM observando que a estratégia não fornece todas as possíveis soluções, exibindo uma solução para o triângulo, com soma dos quatro números colocados nos lados igual a  19,  que não pode ser obtida com a estratégia considerada.

Neste texto, vamos apresentar todos os possíveis valores para a soma dos quatro números a serem colocados nos lados do triângulo equilátero e todas as possíveis soluções  para cada soma.

Lembrando que estamos considerando os números de  1  a  9,  sem repetição, seja  SL a soma dos quatro números colocados em cada um dos lados do triângulo e  SV a soma dos números colocados nos três vértices do triângulo. 

Como cada vértice participa da soma dos números de exatamente dois lados, temos

3 × SL = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) + SV .

Logo,  SL = = 15 + .

Observamos que o valor mínimo para a soma  SV  dos números colocados nos vértices é  1 + 2 + 3 = 6  e o valor máximo é   7 + 8 + 9 = 24.  Sendo assim, os possíveis valores para  SL satisfazem:

15 + < SL < 13 + ou  17 < SL <23.

Considerando ser  SL necessariamente inteiro,  SV será um múltiplo de  3,  levando a apenas  30  soluções para os vértices, apresentadas na tabela ao lado. Foram excluídos os triângulos simétricos, por exemplo,  [2, 3, 1], [3, 1, 2], [1, 3, 2], [2, 1, 3] e [3, 2, 1], simétricos de [1, 2, 3] (a notação [2, 3, 1] indica que os números  2, 3 e 1 estão nos vértices).

Vamos procurar a solução para a primeira opção da tabela, com vértices  1,  2  e  3  e  SL = 17.

Para o lado [1, 2] (essa notação indica o lado com os números 1  e  2  nos seus vértices), é necessário escolher dois números que somem  17 – 1 – 2 = 14. Números disponíveis para alocação: 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Pares com soma 14: [5, 9]  e  [6, 8].

Escolhendo o [5, 9] para o lado [1, 2], obtemos o lado [1, 5, 9, 2].

Para o lado [2, 3], é necessário escolher dois números que somem  17 – 2 – 3 = 12.
Números disponíveis para alocação: 4, 6, 7 e 8.
Único par com soma 12: [4, 8].
Obtemos o lado [2, 4, 8, 3].

Resta o lado  [3, 1], no qual a soma dos dois números a serem colocados deve ser 17 – 1 – 3 = 13 e os únicos números disponíveis para a alocação são 6  e  7,  cuja soma é  13. Obtemos então o lado [3, 6, 7, 1].

Temos então a

Solução 1:  [1, 5, 9, 2]   [2, 4, 8, 3]   [3, 6, 7, 1]

Escolhendo o [6, 8] para o lado [1, 2] obtemos o lado [1, 6, 8, 2].

Para o lado [2, 3]:

Números disponíveis para alocação: 4, 5, 7 e 9.
Único par com soma 12: [5, 7].
Obtemos o lado [2, 5, 7, 3].

Para o lado  [3, 1], resta [4, 9], cuja soma é  13. 
Obtemos então o lado  [3, 4, 9, 1].

Temos, então, a

Solução 2:  [1, 6, 8, 2]   [2, 5, 7, 3]   [3, 4, 9, 1]

Se tomarmos, por exemplo, o caso dos vértices 1, 5, 6, que está na 8 linha da tabela, temos SL = 19 e, para o lado [1, 5], por exemplo, teremos que escolher dois números com soma igual a 19 – 1 – 5 = 13. Os números disponíveis para a alocação são: 2, 3, 4, 7, 8 e 9. O único par com soma 13 é [4, 9], gerando o lado [1, 4, 9, 5]. Para o lado [5, 6], devemos escolher dois números com soma igual a 19 – 5 – 6 = 8. Os números disponíveis para a alocação são: 2, 3, 7 e 8. Não há dois deles com soma 8, logo essa alternativa não oferece solução para o problema.

Depois de examinar todas as alternativas, encontramos apenas 18 soluções para o problema, obtidas de 10 linhas da tabela. Essas soluções são:

PARA O LEITOR

Deixamos para o leitor determinar todas as soluções (são apenas quatro) do problema: