Calixto Garcia

Tradicionalmente, o estudo da posição relativa entre uma reta e uma parábola é feito por meio da Geometria Analítica. Ao confrontarmos a equação da reta com a da parábola, surge uma equação quadrática cujo número de soluções fornece a informação se a reta intersecta a parábola em dois, um ou nenhum ponto.

Por outro lado, vemos aqui uma interessante oportunidade (didaticamente falando) de abordar esse problema com o uso da geometria sem coordenadas, a partir da definição de parábola via foco e diretriz. O objetivo deste texto é explorar essa abordagem.

Para tanto, consideremos, num plano euclidiano, uma reta  r e uma parábola de foco  F e diretriz  d.  Nosso problema se traduz na investigação da existência (ou não) de pontos de  r  que também pertençam a ,  isto é, que sejam equidistantes de  F  e de  d.  Em caso positivo, tais pontos, além de estarem sobre  r,  são centros de circunferências que passam por  F  e são tangentes a  d.  A construção geométrica dessas circunferências evidencia certos conceitos e resultados, além de oferecer um ganho em qualidade nessa exploração. E essa ação pode ser potencializada quando se conta com os recursos da computação por meio dos softwares de Geometria Dinâmica.

Estudemos primeiramente o caso em que a reta r  contém o foco  F.  Se  r  é perpendicular à diretriz d  num ponto  Y,  então  r  intersecta a parábola num único ponto V (o vértice de  ) dado pelo ponto médio do segmento  FY.

Suponha, então, que as retas  r  e  d  não sejam perpendiculares. Nesse caso, a perpendicular a  r,  por  F,  intersecta a diretriz  d  num ponto  D  (veja figura 1) e os pontos de  d  que estão a uma distância  FD  do ponto  D  são os pontos de tangência de duas circunferências que passam por  F  e são tangentes a  d.  Os seus centros  P  e  P’  são obtidos pelas intersecções da reta  r  com as perpendiculares a d nesses pontos de tangência. Concluímos, neste caso, que a reta  r  é secante à parábola  em  P  e  P’. 

Passemos agora ao estudo do caso em que a reta r  não contém o foco  F.  Sendo  F’ o simétrico de  F  em relação a  r,  temos que um ponto  P  pertence a  r se, e somente se,  P  é o centro de uma circunferência que passa por  F  e  F’  e é tangente à diretriz  d.

Se  F e  F’  estão em lados opostos da diretriz d,  então o problema não tem solução e a reta  r é disjunta da parábola. Nesse caso, qualquer ponto de  r  está mais próximo da diretriz  d  do que do foco  F  (veja figura 2).

Se F' d, existe uma única circunferência que passa por  F  e  F’  e é tangente à diretriz  d, sendo seu centro  P  obtido pela intersecção da reta  r  com a perpendicular a  d  traçada a partir de  F’ (veja figura 3). Nesse caso, a reta  r  é tangente à parábola.

figura 4                                                             figura 5

Se  F  e  F’  estão do mesmo lado da diretriz  d de modo que as retas  FF’ e  d  são paralelas, existe uma única circunferência que passa por  F  e  F’ e é tangente à diretriz  d  e o problema novamente admite uma única solução. Nesse caso, a reta  r  é perpendicular à diretriz  d  e intersecta a parábola num único ponto.

Finalmente, se  F  e  F’  estão do mesmo lado da diretriz  d  de maneira que as retas  FF’ e  d  se intersectam num ponto  D,  existem duas circunferências que passam por F  e  F’  e são tangentes à diretriz  d.  Os pontos de tangência  I  e  J  podem ser obtidos, com régua e compasso, a partir da propriedade geométrica conhecida como potência do ponto  D  em relação a essas circunferências, a qual implica DI = DJ = . Essa construção geométrica, cuja justificativa deixamos a cargo do leitor, está ilustrada na figura 4.

Os centros  P  e  P’  das circunferências procuradas são obtidos pelas intersecções da reta  r  com as perpendiculares a  d  nesses pontos de tangência. Concluímos, nesse caso, que a reta  r  é secante à parábola   em  P  e  P’ (ver figura 5).

A apresentação de nova abordagem de um assunto matemático, como a exposta neste texto, traz quase sempre benefícios à aprendizagem. Em muitos casos, proporcionamos aos alunos uma visita a conteúdos que consideram aparentemente desconexos. E é gratificante observar o encantamento que experimentam ao perceberem o comportamento corporativo dessa Ciência.