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Maria Elisa E.L. Galvão e Renate Watanabe
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MESTRADO ACADÊMICO DA UFPA (2012)

Um leitor pede esclarecimentos sobre duas questões propostas para o ingresso no mestrado acima:

Questão 1

Um estudante do ensino médio registrou o seguinte raciocínio em seu caderno:

Porém ficou confuso com a resposta que encontrou, pois contradizia a hipótese registrada na primeira linha. Mostrou ao(a) professor(a) de Matemática a fim de ser ajudado.

Considerando que você é o(a)  professor(a) que o estudante procurou, descreva sua resposta para ele, auxiliando-o a compreender os significados dos registros que fez e da resposta que deveria encontrar.

RPM

Uma possível resposta:

“Você está usando a igualdade ,  que é sempre verdadeira no conjunto  dos números reais maiores ou iguais a zero, isto é, a igualdade vale se  a  e  b  são números reais maiores do que zero.

Mas se, no lugar de  a  ou  b,  você colocar um número negativo, você estará trabalhando no conjunto  dos números complexos e não há garantia que propriedades válidas em  sejam também válidas em  .  De fato, em  ,  nem sempre se pode escrever a igualdade acima porque nesse conjunto o símbolo  não mais representa um número.”

Se o aluno não se contentar com a resposta e perguntar: “mas por que isso acontece?”, uma possível explicação seria:

“Você sabe que em  existem, por exemplo, dois números cujo quadrado é  4.  São eles  2  e  – 2. Define-se    como sendo o número positivo cujo quadrado é  4, isto é,  = 2. 

E, em geral, para  n real,  n > 0,   é o número positivo cujo quadrado é  n.

Veja o que acontece em  :

existem, por exemplo, dois números cujo quadrado é – 2i.  São eles  1 – i  e  – 1 + i,  mas,  em  ,  não é possível definir  ‘número positivo’ com as mesmas propriedades operatórias que eles têm em .
Então,  em  ,  o procedimento é outro e, quando usamos o símbolo  ,  devemos escrever:

= {1 – i, – 1 + i} e, também, = {– i, i}.

Portanto,  em  ,  o símbolo    representa um conjunto de dois números, e igualdades como    não têm sentido, a menos que se defina o que vem a ser  ‘produto de dois conjuntos de raízes’,  o que não se costuma fazer num curso inicial sobre números complexos

Em geral, em , um número  z  tem  n  raízes n-ésimas, isto é, a   é um conjunto de  n  números complexos.  

Apesar disso, por razões didáticas, livros às vezes usam o símbolo    para representar o número complexo  i  e isso dá margem a confusões como a indicada na questão apresentada.”

E um alerta para professores do ensino médio em início de carreira: cedo ou tarde, algum aluno trará a demonstração abaixo:

e perguntará: onde está o erro?

Questão 2

Um candidato a um concurso para emprego, resolvendo um problema de Matemática, deu a seguinte solução:

A questão foi corrigida por dois avaliadores. O primeiro deu nota mínima para a solução do problema. O segundo deu nota máxima.

Sendo você o terceiro avaliador, o que faria? Qual sua interpretação da resposta do candidato levando em consideração os atuais estudos da Educação Matemática?

RPM

A resposta dependerá do concurso e do problema. Se o concurso for para qualquer emprego que não o de professor de Matemática para o ensino básico, como terceiro avaliador, eu daria nota máxima.

As igualdades escritas pelo candidato são verdadeiras sempre. Se  b  e  d  forem reais não nulos,

e não há, na prática, grande diferença entre escrever

Se o concurso for para escolher professores de Matemática para o ensino básico, e a questão envolver a pergunta:

“Como você ensinaria aos seus alunos dividir por ?”,  eu daria nota mínima pela resposta descrita no quadro, pois, aparentemente, o candidato usou o MMC dos denominadores das frações para chegar ao resultado e esse procedimento certamente não é o mais apropriado para efetuar a divisão de frações.

“QUEM" É AFIXO DE "QUEM"?

A palavra afixo é usada em Matemática para identificar a relação entre o número complexo  z =  a + bi  e o ponto  P  de coordenadas  (a, b)  do plano Argand-Gauss.

Conta-nos o professor Nelson Tunala, do Rio de Janeiro, que nos livros didáticos usados no Brasil há duas definições distintas de afixo:

1.  O número complexo  z =  a + bi   é o afixo do ponto P = (a, b).

2.  O ponto P = (a, b)  é o afixo do número complexo  z =  a + bi .

E professores podem perguntar: afinal, o número é o afixo do ponto ou o ponto é o afixo do número?

A primeira definição é encontrada em livros antigos nacionais como os de Ary Quintella, da Companhia Editora Nacional; Alberto Nunes Serrão, da Editora Ao Livro Técnico; Euclides Roxo, da Editora Melhoramentos, e nos mais modernos, como os de Miguel Jorge e Ralph Costa Teixeira, da Editora do Brasil; Jackson Ribeiro, da Editora Scipione; Joamir Souza, da Editora FTD.

A segunda definição encontra-se nos antigos livros de Farah, Catunda, Castanho e Castrucci, da Editora do Brasil; Giovanni e Bonjorno, da Editora FTD; Boulos e Watanabe, da Companhia Editora Nacional, e nos mais modernos, como os de: Gelson Iezzi, da Editora Atual; Luiz Roberto Dante, da Editora Ática; Aref Antar Neto, Nilton Lapa, Sidney L. Cavallante, da Editora Moderna.

RPM

Não há como responder à pergunta. São definições. Pode-se adotar uma ou outra. Importante é que, em ambas, a palavra afixo traduz a relação entre o número complexo  z =  a + bi  e o ponto  P = (a, b).

Na maioria das vezes, quando a palavra afixo é usada em problemas ou em questões de concursos, o próprio enunciado da questão permite decidir qual das duas definições está sendo usada.