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Eduardo Tengan e Élvia Mureb Sallum
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RPM – Problemas
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As soluções dos problemas  361 a  365  serão corrigidas apenas se enviadas até 20 de junho de 2014.

 

361

Se  x  é um número real, seja   o piso de  x,  ou seja, o maior inteiro  n  tal que  n x .  Por exemplo,  = 3,   =1  e  =3.
a) Mostre que, se  n  é um inteiro positivo, então 

= n - 1.

b) Considere os conjuntos de números naturais

A =

B =

Mostre que A e B formam uma partição do conjunto dos inteiros positivos, isto é, mostre que cada inteiro positivo pertence a exatamente um dos conjuntos  A ou  B.

 

362

Seja  n > 1 um natural e  k  um natural tal que  0 k n.  Denotamos por  o coeficiente de xk na expansão de  (1 + x)n.

(a) Se  n  é uma potência de um primo  p,  mostre que   é divisível por  p  para  k = 1, 2, 3 , ..., n – 1.

(b) Reciprocamente, mostre que, se um primo  p  divide   para  k = 1, 2, 3 , ..., n – 1, então  n  é uma potência de  p.  

 

363

Um astrônomo somou todas as distâncias entre 50 estrelas que ele observou com um telescópio, obtendo a soma  S.  De repente, uma nuvem ocultou  25 das estrelas.  Mostre que a soma das distâncias entre as  25  estrelas visíveis é menor do que  S/2.

 

364

Mostre que é impossível desenhar uma estrela, como na figura, com AB < BCCD < DE, 
EF < FG,
  GH < HI  e  IK < KA.

 

365

2013 formigas puntiformes são colocadas em posições aleatórias ao longo de uma fita métrica unidimensional, de 2013 cm de comprimento, que está flutuando no ar. Um cronômetro é ligado e, nesse instante, cada formiga escolhe o sentido para a direita ou para a esquerda e passa a andar sobre a fita no sentido escolhido com velocidade constante de 1 cm por segundo, até que encontre outra formiga ou o fim da fita.  Quando uma formiga chega ao fim da fita, ela cai e não retorna mais. Quando duas formigas se encontram, cada uma passa a seguir no sentido oposto ao que seguia antes do encontro. Após que instante você pode garantir que não há mais formigas sobre a fita?

 

 

PROBLEMINHAS

1

Exatamente no momento em que o ponteiro das horas passa pelo 12, uma formiga começa a andar ao longo da borda do relógio no sentido anti-horário, partindo do 6, com velocidade constante. Quando a formiga encontra o ponteiro das horas, ela muda de direção e continua a andar na mesma velocidade no sentido horário.

Quarenta minutos após o primeiro encontro, a formiga se encontra pela segunda vez com o ponteiro das horas e morre. Quanto tempo a formiga andou?

 

2

Coloque os números de 1 a 9, sem repetir, um em cada casa da figura, de modo que:

                 

as casas que contêm 1 e 2 e todas as outras casas entre elas somam 12;
as casas que contêm 3 e 4 e todas as outras casas entre elas somam 34;
as casas que contêm 4 e 5 e todas as outras casas entre elas somam 45;

 

3

Três meninos são tais que: um deles só fala verdades, outro só fala mentiras e o terceiro alterna afirmações falsas com verdadeiras, começando com qualquer uma delas.

Perguntados sobre que país ganhou a última Copa de Futebol, qual ficou em segundo lugar e qual ficou em terceiro, as respostas foram:

Zaire em 1, Uruguai em 2 e Espanha em 3

Zaire em 1, Espanha em 2 e Uruguai em 3

Uruguai em 1, Espanha em 2 e Zaire em 3

Qual foi a classificação desses países na Copa?

(Tirado do livro Hard-to-solve brainteasers, Jaime & Lea Poniachik.)

Respostras na página UM POUCO DA OBMEP.

 

SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS PROPOSTOS NA RPM 81


351

Seja  ABC  um triângulo acutângulo de circuncentro  O  e sejam  DEF  as interseções das semirretas  AOBO  e  CO  com os lados  BCAC  e  AB,  respectivamente. Sendo  R  o circunraio do triângulo  ABC,  mostre que

 

SOLUÇÃO

No triângulo ABC, considere  O  o seu circuncentro;  Hx Hy  e  Hz  suas alturas e  sua área. Sejam x,  y  e  z  as distâncias de  O  aos lados do triângulo.

Temos:

como o triângulo ABC é acutângulo, temos também

Logo, S = S . e

A média harmônica de três números maiores do que zero,  ab  e  c,  é menor ou igual à sua média aritmética, isto é,  

Dessa desigualdade, segue

Por semelhança de triângulos, temos:

Assim,

e, portanto

 (Solução adaptada da enviada por Milton Dini Maciel, SP.)

 

352

Determine todos os números naturais  m  e  tais que

28 + 211 + 2m = n2.

 

SOLUÇÃO

De  28 + 211 + 2m = n2, m, n , segue

2m = (n – 48)(n + 48).

Logo,  n + 48 = 2q  e n – 48 = 2p,  com  p + q = m e  p < q.

Assim, 2q – 2p  =  2p (2q p – 1) = 96  =  25 . 3  e, como 2q p – 1  é ímpar, segue que 
2p = 25 e 2q p – 1 = 3.

Daí,  p = 5, q p =2, q =7 e, portanto,

m = 12  e  n = 80.

(Solução enviada por André Araújo, RJ)

 

353

Mostre que os 1000 dígitos após a vírgula decimal de são todos iguais a 9.

 

SOLUÇÃO

Temos:

(1)  + = n, n natural maior do que 1, pois as potências ímpares de  são canceladas.

(2)   . = (65 - 64)2012 = 1.      

Como 0 < < 1, segue de  (1)  que a parte decimal  de   é dada por 1 - .

Logo, só precisamos agora verificar que > 101000 ou, equivalentemente, por (2),  que

> 101000, o que segue de > 10.

(Solução adaptada das enviadas por diversos leitores.)

 

354

São dados uma balança de dois pratos e pesos de

20,  21,  22, ..., 2100  gramas.

Os pesos devem ser colocados um a um na balança de modo que o prato esquerdo nunca seja mais pesado do que o direito. De quantas formas isso pode ser feito?

 

SOLUÇÃO

Convém generalizar o problema e determinar o número B(n) de maneiras de colocar pesos de  , , ... ,   gramas com  a1 < a2 < ... < an   satisfazendo a condição de que o prato esquerdo nunca seja mais pesado do que o direito. Note que, como

e, pela fórmula da soma dos termos de uma PG, temos

e, como  < ,  temos que em qualquer momento o peso mais pesado dentre os colocados na balança deve estar no prato direito, e colocar um peso mais leve do que o mais pesado que já está na balança não altera o equilíbrio dela.

Assim, temos  2n – 1  casos mutuamente exclusivos, de acordo com o último peso a ser colocado na balança: o peso  é o último a ser colocado e é colocado no prato da direita/esquerda (2 casos), o é o último a ser colocado e é colocado no prato da direita/esquerda (mais 2 casos), e assim por diante até ; o peso , se for o último a ser colocado na balança, deve ser obrigatoriamente colocado no prato da direita. Como os primeiros n – 1 pesos podem ser colocados de B(n – 1) maneiras, obtemos a recursão  B(n) = B(n – 1) . (2n – 1)        (n 2)

Claramente, temos B(1) = 1 (o único peso deve ficar no prato da direita). Logo

B(101) = 201 . B(100) = 201 . 199 . B(99)
             = 201 . 199 . 197 . B(98)
             = …
             = 201 . 199 . 197 .  …  . 1

Em geral, B(n) é o produto dos  n  primeiros inteiros ímpares positivos.

 

355

Considere um triângulo  ABC  e pontos  XY  e  Z  nos lados  BCAC  e  AB, respectivamente, tais que  ABCXY  e  Z  são todos distintos entre si. Mostre que as circunferências circunscritas aos triângulos  AYZBZX  e  CXY  têm um ponto em comum.

 

SOLUÇÃO

Seja  P a interseção,  P Z , dos circuncírculos dos triângulos AYZ e BXZ.

Os quadriláteros AZPY  BXPZ  são inscritíveis em circunferências e, pelo fato:

um quadrilátero é inscritível se e somente se seus ângulos opostos são suplementares,

temos  a = b = g.  Então, temos que também o quadrilátero  CYPX  é inscritível  e, portanto,  pertence à circunferência circunscrita ao triângulo CXY.

(Solução adaptada da enviada por
Anderson Henrique da Costa Barros, MA)

 



Relação dos leitores que enviaram soluções dos problemas da RPM 81

Amadeu Carneiro de Almeida, RJ - 351, 352 Itagiba Franco Ferreira Cardia, SP - 352, 355
Amaro José de Oliveira Filho, PE - 355 José G. L. Rodrigues, DF - 352, 354, 355
Anderson H. C. Barros, MA - 351, 353, 355 Luis Alexandre Chiconello, SP - 352
André Luis Souza de Araújo, RJ - 352, 355 Marcone Augusto Araújo Borges, SE - 352
Antonio Vladimir Martins, SC - 352, 353 Marcos Martinelli, DF - 351, 352, 353, 355
Carlos Alexandre Gomes, RN - 355 Milton Dini Maciel, SP - 351, 355
David Pinto Martins, BA - 352 Nilton Lapa, SP - 351, 352, 354, 355
Dirceu Aparerido Borges, MS - 352 Sebastião M. dos Santos, MG - 352, 355
Francisco Blasi Jr., SP - 352, 354, 355 Sérgio Noriaki Sato, SP - 352
Hildeberto Silva de Sousa, PI -352 Warles Ribeiro Neto, GO- -352, 353, 355