Maria Elisa Esteves Lopes Galvão
Universidade UNIBAN - Anhanguera

A Geometria está bastante presente nas questões de provas da OBMEP, nas quais encontramos, ao longo dos anos, diferentes propostas de abordagens para problemas geométricos relacionados aos conteúdos escolares. Observamos que, em especial, questões relacionadas ao cálculo de áreas de figuras planas são encontradas em todas as provas e são propostas de forma a sugerir soluções que, em muitas das situações, vão além da simples utilização de fórmulas memorizadas.

Lembramos que, no que se refere às formas e medidas, as recomendações dos Parâmetros Curriculares Nacionais reforçam a importância da compreensão da noção de medida de superfície, da equivalência de figuras por meio da composição e decomposição e dos procedimentos de cálculos associados à composição/decomposição. Para determinarmos uma área precisamos de uma unidade de medida. As unidades de medida de área usuais são o metro quadrado ou o centímetro quadrado, correspondentes, respectivamente às áreas de quadrados com lados de comprimentos um metro ou um centímetro. Historicamente, a medida de áreas por comparação com a unidade de medida escolhida precede o uso de fórmulas. Frequentemente, para calcular a área de uma figura podemos usar outros recursos, tais como a composição, decomposição ou equivalência de figuras (isto é, a comparação de figuras com a mesma área), que são elementos essenciais para o tratamento inicial do conceito de área no ensino fundamental.

O objetivo deste trabalho é identificar, em problemas selecionados, esses vários aspectos ou recursos que podem ser utilizados nas suas soluções.

Vejamos, inicialmente, alguns exemplos de questões da OBMEP nas quais temos um elemento de área como referência, dado, em geral, por um quadriculado; para as soluções, vamos também utilizar as decomposições das figuras em retângulos ou triângulos retângulos (cujos cálculos da área admitiremos conhecidos) ou a equivalência de figuras.

1. O quadriculado da figura 1 é feito com quadradinhos de 1 cm de lado. Qual é a      área da região sombreada?                                         (Questão 2 – N1 – 1 fase – 2009)

                        
figura 1                                    figura 2                                figura 3

Os quadradinhos com lados medindo 1 cm serão a unidade de área escolhida, 1cm2. Em cada um dos cantos da figura, um triângulo retângulo isósceles interno tem a mesma área de um triângulo retângulo isósceles externo, e ambos equivalem à metade de um quadradinho (figura 2). A região, por essa razão, será equivalente à reunião dos 24 quadradinhos do contorno do quadrado, e, portanto, é igual a 24 cm2 (figura 3).

2. Na figura 4, o lado de cada quadradinho mede  1 cm. Qual é a área da região      verde?                                                                            (Questão 11 – N1 – 1 fase – 2011)

figura 4

Neste problema, temos a mesma unidade de área do problema anterior, um quadradinho cuja área é 1 cm2.  Observamos que a parte superior da região verde é igual à região branca na parte inferior do quadrado.

A área da região verde será, portanto, equivalente à área do trapézio destacado na figura 5, que, por sua vez, é a metade do quadrado original; daí a área da região verde é 12,5 cm2.

figura 5

3.	O retângulo da figura 6, que foi recortado de uma folha de papel quadriculado, mede 4 cm de largura por 5 cm de altura. Qual é a área daregião sombreada?
	(Questão 12 – N1 – 1 fase – 2012)

Observamos, em primeiro lugar, que a figura tem uma simetria que nos permite calcular a metade da área pedida. A área da metade da região sombreada será a área do retângulo com comprimento 5 cm e largura 2 cm, menos a área dos cinco triângulos retângulos destacados na figura 7.

                        
    figura 6                                                            figura 7                

Calculando as áreas, teremos a área total:

A = 2(5.2 - - 1 - ) = 10cm2

É importante observar que, neste problema, o quadriculado nos forneceu as dimensões das figuras escolhidas para o cálculo da área e não a unidade de área. Nos problemas a seguir, teremos que trabalhar com algumas relações entre áreas.

4.	Uma parede de  3 metros  de altura por  9 metros de comprimento foi inteiramente coberta com azulejos quadrados de 10 cm de lado. Foram usados dois tipos de azulejos: um totalmente branco e o outro preto e roxo. A figura representa o padrão usado, a partir do canto inferior esquerdo da parede. Qual é a área da parede coberta com a cor branca?
	(Questão 12 – N3 – 1 fase – 2005)

Neste caso, usando novamente o quadradinho como unidade, observamos que a cada  9 unidades  a região branca equivale a  7 unidades. Como a parede toda será coberta por um número inteiro de quadrados com  9  unidades como os da figura, a fração da área da parede equivalente à sua parte branca será  7/9,  ou seja,

. 27 = 21m2.

5.	A figura 8 mostra um retângulo de área 720 cm2,  formado por nove retângulos menores e iguais. Qual é o perímetro, em centímetros, de um dos retângulos menores?                                                                      (Questão 15 – N2 – 1 fase – 2012)

 

figura 8

Neste caso, a decomposição do retângulo em nove retângulos menores e iguais nos permite calcular a área de cada um deles: 80 cm2. Por outro lado, observando que o comprimento do retângulo maior equivale a 4 comprimentos ou 5 larguras (que denotaremos por l) do retângulo menor, temos que o comprimento do retângulo menor é  5/4  de sua largura,  e, portanto, sua área será l2. Teremos, então,  l2 = 80; a largura  l medirá 8 cm  e o comprimento, 10 cm;  logo, o perímetro será   36 cm.

Uma decomposição diferente do usual e a fórmula para o cálculo de áreas de triângulos são utilizadas na solução da questão a seguir.

                        
figura 9                                                            figura 10

Neste caso, a soma das áreas pode ser obtida observando que a reta paralela ao lado AB, divide cada um dos triângulos  AED  e  BCF  em dois triângulos, dois a dois com a mesma altura e a soma dos comprimentos das respectivas bases igual a  2.

A soma das áreas dos triângulos da parte superior será

h1 = h1,

e da parte inferior,

h2 = h2,

sendo  h1  e  h2  as respectivas alturas. Portanto, a área total será  h1 + h2 = 4.  Nesta solução, usamos a decomposição da figura e o cálculo da área dos triângulos da decomposição.

No próximo problema, temos a decomposição de uma figura seguida pela composição de uma nova figura usando as regiões obtidas na decomposição. A observação importante é que, se não acontecem sobreposições, a área é preservada nessa decomposição/composição.

Neste caso, como partimos de uma figura cuja área é  9 cm2, a área do quadrado formado com as partes recortadas também será  9 cm2, pois sua área deve ser igual à área da tira original. Essa informação será suficiente para, a partir das dimensões da tira e do comprimento do lado do quadrado (3 cm), encontrar as dimensões do triângulo indicado. Sabemos que ele é retângulo, seu cateto vertical tem comprimento  (3 – 2)cm = 1 cm e o horizontal, (4,5 – 3)cm = 1,5 cm.

Daí, a área procurada é  0,75 cm2.

Vamos agora examinar um dos vários problemas propostos nas provas da OBMEP que tratam de dobraduras. Neste caso, precisamos tomar cuidado no cálculo das novas dimensões ou com as relações entre as áreas após as dobras.

figura 11

    figura 12                   figura 13

Neste caso, após a dobra, a área do quadrado central será a área do quadrado original menos a área de oito triângulos retângulos congruentes. A área de cada triângulo retângulo será igual a   (900 – 144)/8 = 94,5;  esse triângulo é a metade de um retângulo cuja área é 189 cm2.  As dimensões do retângulo devem somar  30  e o seu produto deve ser 189. O número  189  pode ser fatorado como  3 × 3 × 3 × 7;  logo, temos, para as dimensões do retângulo, as possibilidades:  1 e 189;  3  e  63;  9  e  21;  27  e  7.

Apenas o par  9  e  21  tem soma  30;  logo, o comprimento do segmento PA será  21 cm.

A semelhança e outras propriedades das figuras geométricas e também as fórmulas conhecidas para o cálculo de áreas são recursos que poderão ser utilizados para as soluções das questões a seguir.

9.	O trapézio  ABCD  foi dividido em dois retângulos  AEGF  e  FGCD,  um triângulo  GHC  e  um trapézio  EBHG.  As áreas dos dois retângulos e do triângulo, em cm2, estão indicadas na figura 14. Qual é a área do trapézio EBHG?
	(Questão 14 – N3 – 1 fase – 2008)

figura 14

Os retângulos  DCGF  e  FGAE  têm a mesma base e a razão entre suas alturas será a razão entre suas áreas; logo,  CG = 3GE;  a razão entre as alturas dos triângulos retângulos semelhantes  CGH  e  CEB  será, portanto,  3/4  e a razão entre suas áreas  9/16.  Daí, a área do triângulo  CEB  será  48  e a área do trapézio,  48 – 27 = 21 cm2.

figura 15

Sabemos, da semelhança de triângulos, que, se os pontos  R  e  S  são pontos médios dos lados do paralelogramo, então o segmento SR é paralelo a e a área do triângulo  DSR  é   1/4  da área do triângulo  DAC,  que, por sua vez, tem área igual à metade da área do paralelogramo  ABCD.  Daí, a área do triânglo  DSR  é  1/8  da área do paralelogramo  ABCD.  O mesmo vale para a área dos três outros triângulos  APS,  PBQ  e  QCR;  como consequência, temos que o quadrilátero  PQRS  é um paralelogramo e a área é a metade da área do paralelogramo original. A área do triângulo  PQT  é a metade da área desse paralelogramo; logo, igual a  10 cm2.

figura 16

Para a solução, usaremos duas propriedades dos triângulos da figura.

figura 17

No triângulo retângulo  CDB,  usando a igualdade do comprimento   CE = EB,   temos 

m(EC) = m(EB) = a

Logo,  m(ED) = 90 - a = m(EC) e então DE = CE = EB.  Assim, os triângulos  CDE  e  CEB  têm bases  DE  e  EB  congruentes e mesma altura relativa a essas bases de modo que área(CEB) = área(CDE) = 1.

Por outro lado, no triângulo retângulo  ACE  temos AE = CE e

área(ACE) = AE.CH = CE.CH.

Mas  área(CDE) =  DE.CH = CE.CH ou seja,

CE.CH = 2  e  área(ACE) = .

Finalmente, a área procurada é

área(ABC) = área(ACE) + área(CEB) = +1.

Esse último exemplo é um problema cuja solução depende do conhecimento de alguns dos fatos da Geometria relacionados a triângulos retângulos.

As questões selecionadas nos mostram exemplos dos vários recursos que podemos utilizar quando trabalhamos com áreas. As soluções não dependem, necessariamente, somente de fórmulas, mas de escolhas convenientes de unidades de área, ou decomposição e/ou composição adequadas das figuras. Observamos ainda que, em vários dos exemplos, a formulação do problema ou da pergunta pode ser orientadora na escolha do recurso a ser utilizado na solução. As situações apresentadas variam em complexidade, de acordo com a expectativa de aquisição de novos conhecimentos de geometria que deve acontecer ao longo da escolaridade dos alunos.