PAINEL I: MAIS SOBRE A SEXTA-FEIRA 13

José Luiz Pastore Mello

Mês ruim para quem tem paraskevidekatriaphobia.

Surpreso com a estranha palavra? Segundo o dicionário inglês Macmillan, “paraskevidekatriaphobia” significa fobia por sexta-feira 13, verbete criado a partir das palavras gregas “paraskevi” (sexta-feira) e “dekatria” (treze), com sufixo referente à fobia. Se você tem fobia por sexta-feira 13, é bom se preparar porque temos um dia assim no mês de setembro, ocasião em que você deverá estar recebendo sua RPM 82 em casa.

A má notícia para os fóbicos é que em  2013,  além de setembro, também teremos uma sexta-feira 13 no mês de dezembro, e a boa é que em  2014  teremos apenas uma sexta-feira treze, que, aliás, é o menor número de sextas-feiras 13 que podemos ter em um ano. Provaremos a seguir que em um ano qualquer, seja ele bissexto ou não, sempre temos o mínimo de uma e o máximo de três sextas-feiras 13.

Investigando inicialmente um ano não bissexto, chamaremos de dia tipo 0 os domingos, de dia tipo 1 as segundas-feiras, de dia tipo 2 as terças-feiras, e assim sucessivamente, até sábado, que será um dia tipo 6.

Olhando no calendário, verificamos que o dia 13 de janeiro de 2013  foi um domingo que, segundo nossa convenção, é um dia tipo 0. Sabendo que janeiro tem  31  dias, que dia da semana foi  13 de fevereiro  de 2013?  Observando que  7,  14,  21  ou 28  dias depois de  13 de janeiro  também serão dias de tipo  0,  31 dias depois de 13 de janeiro será um dia tipo 3, de onde concluímos que 13 de fevereiro foi um dia tipo 3 (quarta-feira).

Repetindo o mesmo raciocínio,  7, 14,  21  ou  28 dias depois de 13 de fevereiro são dias tipo  3.  Como fevereiro do ano analisado tem  28 dias,  então  13 de março  também foi um dia tipo  3  (quarta-feira).

O que dizer agora sobre o dia da semana que foi 13 de abril? Como março tem  31  dias,  28  dias depois do dia  13 de março  também será um dia tipo 3,  e,  portanto,  31 dias  depois de  13 de março  foi um dia tipo 6 (sábado).

Dando continuidade a esse raciocínio, conclui-se que, se o dia  13 de janeiro  de  2013,  que é um ano não bissexto, foi um domingo (tipo 0), os dias  13  dos demais meses desse ano serão dos tipos indicados na tabela 1.  Como, segundo nossa convenção, chamamos as sextas-feiras de tipo  5,  fica fácil concluir a partir da tabela 1 que teremos apenas duas sextas-feiras 13  em  2013,  uma em setembro e a outra em dezembro.

tabela 1

A tabela 1 se presta à análise da distribuição de sextas-feiras 13 não apenas em 2013, mas em qualquer ano não bissexto. Você sabe como?

Vejamos o caso de  2014, que também será um ano não bissexto. Nesse caso, como o dia 13 de janeiro cai em uma segunda-feira, convencionaremos que as segundas-feiras são dias tipo  0,  as terças-feiras são dias tipo 1, e assim sucessivamente até o domingo, que será um dia tipo  6,  com sextas-feiras dias do tipo  4.   Lendo a tabela 1 à luz dessa nova correspondência, concluímos que em  2014  teremos apenas uma sexta-feira 13, que será no mês de junho.

Para anos bissextos, como será o caso de 2016, o “dia a mais” em fevereiro implicará ajustes na tabela 1, conforme indicado na tabela 2. Olhando no calendário, 13 de janeiro de 2016 será uma quarta- feira, que convencionaremos chamar de dia tipo 0. Nesse caso, sexta-feira é um dia tipo 2, e a análise da tabela 2 nos permite concluir que teremos apenas uma sexta-feira 13 em 2016, que cairá no mês de maio.

tabela 2

As tabelas 1 e 2, com a escolha conveniente da correspondência entre os dias da semana e os naturais de  0  a  6,  dão conta da análise de um ano genérico qualquer e, por esse motivo, podem ser usadas para chegarmos à seguinte conclusão:  o número mínimo de sextas-feiras 13  em um ano é um, e o máximo três. Tal conclusão decorre do fato de que todos os naturais de  0  a  6  aparecem em cada tabela, e que a maior ocorrência de um mesmo número natural em cada tabela é três vezes.

Esse elegante método de contagem do número de sextas-feiras 13 de um ano e outras criativas estratégias de resolução de problemas de contagem podem ser encontrados em:
NIVEN, I. Mathematics of choice: how to count without counting. The Mathematical Association of America, Washington, 1965.

Além disso, lembramos aos leitores que na RPM 59, pág. 7,  está publicado o artigo  Sexta-feira 13 ... e na RPM 13, espalhadas pela revista, há curiosidades e relatos sobre superstições que ligam azar, dia 13 e sexta-feira; uma curiosidade, na página 39, é que o dia 13 tem uma ligeira predileção pelas sextas-feiras.

PAINEL II: SOMA IGUAL AO PRODUTO

Paulo Sérgio Argolo

Sabemos, caro leitor, que

2 + 2 = 2 × 2   e   1 + 2 + 3 = 1 × 2 × 3.

Uma inevitável perguntinha: será que existem outros inteiros positivos com a soma igual ao produto?

Bem... com a repetição do 1, pode-se criar uma infinidade de exemplos:

1 + 1 + 2 + 4 = 1 × 1 × 2 × 4
1 + 1 + 1 + 2 + 5 = 1 × 1 × 1 × 2 × 5
1 + 1 + 1 + 1  + 1 + 3 + 4 = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 3 × 4

E sem repetir o 1?

Nesse caso, os  únicos exemplos são realmente os dois mencionados acima. Uma demonstração desse fato é apresentada a seguir.

Para dois números:  a  e  b

a × b = a + b a × b – a = b a(b – 1) = b;

logo, como estamos supondo que o 1 não se repete,  podemos supor  b > 1;  logo,  b – 1  é positivo e divide  b.  Portanto,  b – 1 divide a diferença entre  b  e  b – 1,  que é igual a 1.

Então,  b – 1 = 1,  isto é,  b = 2,  o que leva a  a = 2.

Para três ou mais números

Sejam  n  números inteiros positivos:

a1,  a2,  a3, ... ,  an        (n 3)                                

Convém, inicialmente, observar que a diferença entre o produto e a soma desses números aumenta, cada vez que algum deles é substituído por outro maior.

De fato, sejam  P  e  S  o produto e a soma, respectivamente, dos  n  números dados inicialmente. Substituindo-se, por exemplo,  an  por  an + k,  sendo  k  um inteiro positivo, o novo produto  P’  e a nova soma  S’  serão:

P' = (an + k) = P +   e   S’ = S + k.

Assim,

P' – S' = (P – S) + k( – 1)

e como estamos supondo  n > 3  e que o 1 não se repete, teremos  P > an  e, portanto,

k( – 1) > 1,

pode-se concluir que   P’ – S’ > P – S.

Consequentemente:

Quando o  1  consta (uma só vez) entre os  n números, a diferença mínima entre o produto  P  e a soma  S  ocorrerá quando os demais números forem  iguais a  2.  Então

P = 2n – 1  e  S = 1 + 2 × (n – 1),  ou

P – S = 2n – 1 – 2n + 1 (diferença mínima).

Para  n = 3,  a diferença mínima é, portanto,

23–1 –  2 × 3 + 1 = – 1.

De fato:   1 × 2 × 2 –  (1 + 2 + 2) = 4 – 5 = –1.

Supondo, sem perda de generalidade, 1 < a2    a3,  teremos a diferença igual a zero (P = S)  se

a2 × a3 = 1 + a2 + a3
a2 × a3 –  a2 = a3 + 1
a2 ×  (a3 –  1) = a3 + 1,

e  então  a3 – 1 divide  a3 + 1  e, portanto, divide a diferença entre  a3 + 1 e  a3 – 1, que é  2.  Assim,

a3 – 1 = 1  ou  a3 – 1 = 2,

o que conduz a  a3 = 3  e  a2 = 2,  já que estamos supondo  a2   a3  e  já que  a3 = 2  leva ao caso 1, 2, 2,  que não fornece  S = P.

Para  n = 4,  a diferença mínima entre o produto e a soma será:  23 – 2 × 4 + 1 = 1.  De fato:

1 × 2 × 2 × 2 – (1 + 2 + 2 + 2) = 8 – 7 = 1.

Logo, não teremos  S = P.

Vamos verificar que essa função

f(n) = 2n – 1 –  2n + 1

é crescente, quando  n 3: 

f(n + 1) – f(n) = 2n – 2(n + 1) + 1 – 2n – 1 + 2n – 1
=   2n –  2n – 1 – 2 = 2n – 1(2 – 1) – 2  = 2n – 1 – 2 > 0.

Pode-se então concluir que, dados três ou mais inteiros positivos, usando-se o 1 uma só vez, não há outros exemplos com a soma igual ao produto, além dos casos já apresentados.

Quando os n números forem maiores do que 1, a diferença mínima entre o produto  P  e a soma  S ocorrerá quando todos os números forem iguais a  2.

Assim,  P = 2n   e  S = 2n  e   P – S = 2n – 2n (diferença mínima).

Para  n 3,  com justificativa análoga à apresentada para f(n),  constatamos que a função

g(n) = 2n – 2n

é crescente, com mínimo igual a 2.

Então, também nesse caso, não há outros inteiros positivos com a soma igual ao produto.

Conclusão

Sem a repetição do  1,  os exemplos dados no início do texto representam os únicos casos em que a soma e o produto de números inteiros positivos são iguais.

(Paulo Sérgio Argolo é professor aposentado da rede estadual/RJ e da rede municipal do Rio, que, atualmente, só estuda Matemática por prazer. E que prazer!)

PAINEL III: A CONTA DO PEDREIRO

Fredson de Araujo Vasconcelos

Neste texto contarei uma situação que ocorreu em uma aula de uma turma de Educação de Jovens e Adultos - EJA  sobre o conteúdo de unidades de medidas. Ao propor um exercício para que os alunos resolvessem, percebi que um deles conseguiu resolver em pouco tempo a questão, obtendo uma resposta diferente da esperada. O exercício era:

O estudante escreveu no caderno o número 1350.

Fiquei surpreso com a rapidez da resposta e perguntei a ele como tinha obtido esse resultado. Ele me respondeu que multiplicou as dimensões da parede pelo valor de  30 tijolos:  15 × 3 × 30 = 1350. Disse  ser pedreiro por profissão e ser usual fazer esse tipo de cálculo nas construções em que trabalha.

Acreditando ser produtivo e desejável trazer as práticas do cotidiano dos alunos, principalmente quando são jovens adultos, para a sala de aula, conversei mais com esse aluno e ele me informou que entre os tijolos assentados há uma junta de massa de espessura que varia  de 1,5 cm a 2 cm. Discuti, então, o problema na sala de aula fazendo o seguinte:

Mudando a unidade de medida de  cm2 para  m2 temos:  300 cm2 =  (300/102) m2 = 0,03 m2

Dividindo a área da parede pela área de cada tijolo, obtemos   45 /0,03= 1500 tijolos.

Dessa forma, a área ocupada por um tijolo será: 16 cm × 21 cm = 336 cm2. Transformando para m2, obtemos  336 cm2 =  (336/102) m2 = 0,0336 m2.

Dividindo a área da parede pela área de cada tijolo, temos:

45/0,0336 = 1.340 tijolos, aproximadamente.

Veja que o resultado (1340 tijolos) está próximo do que o aluno calculou (1350 tijolos).

Conversando com alguns pedreiros da região, tive a confirmação de que esse procedimento de multiplicar as dimensões de uma parede ou muro por 30 tijolos, para que se tenha uma noção prévia de quantos tijolos serão necessários para uma determinada construção, é realmente utilizado por esses profissionais.

Os estudantes da EJA são, em sua maioria, trabalhadores de diversos ramos da sociedade como vendedores, frentistas de postos de gasolina, pedreiros, etc., tendo necessidade constante de fazer cálculos ligados a sua prática profissional. Muitos deles utilizam a Matemática no cotidiano, usando estratégias próprias e sem mesmo perceber que aqueles conteúdos trabalhados pelo professor em sala de aula já são utilizados por eles em suas atividades diárias. Os conhecimentos acumulados por esses alunos podem ser explorados para estabelecer uma aprendizagem significativa. Para isso, o professor que trabalha com jovens e adultos deve estar preparado para estabelecer estratégias que levem em consideração o que o aluno tem de vivência, relacionando-a com os conteúdos estudados.