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FIQUEI DOIDO

Escreve um leitor de Minas Gerais: Fui retirar algumas questões “boas” para meus alunos e uma delas me deixou doido, pois não concordo com a resposta dada. Eis a questão:

(ITA–1973) A desigualdade é válida para: (há 5 alternativas); a assinalada como correta é x < 3ou  0 < x 1.

Mas como pode x = 1 ou x = 7/3  serem soluções? Esses números, ao serem substituídos no índice  x – 3,  provocam índice negativo e eu aprendi que o índice  n  de uma raiz deve ser um número natural maior do que zero.

RPM

De fato, símbolos como ou não costumam aparecer nos livros didáticos e muitas vezes, quando o índice de uma raiz é a incógnita de uma equação, respostas negativas ou fracionárias são descartadas. Nesses livros, o símbolo , como o leitor diz, somente é definido para números naturais  n maiores do que zero.

Por outro lado, define-se, nos livros didáticos, a expressão por , n  natural,  n > 0.

Essa definição pode ser ampliada para valores de n  reais no caso de  a  ser um número real estritamente positivo.  Assim,

Feitas essas observações, a desigualdade (para   x  real maior do que zero) fica:

. x 1 e temos    1.

A solução tem que ser separada em casos:

1. Se  0 < x < 1,  para valer a desigualdade acima, o expoente de  x  tem que ser maior ou igual a  0.

  0 ... x   ou

x > 3.

Levando em conta que 0 < x < 1,  obtém-se  como solução  0 < x <1.

2. Se  x > 1,  para valer a desigualdade do enunciado, o expoente de  x  tem que ser menor ou igual a  0.

  0 ...     x < 3.

Levando em conta a condição  x > 1,  obtém-se  como solução   x < 3.

3. Se  x = 1,  a desigualdade do enunciado está satisfeita.

Juntando os três casos, vê-se que a solução do problema é a que foi assinalada como sendo a correta.

FALSAS SOLUÇÔES

De um leitor de São Paulo:

Por que o método que usamos para resolver equações irracionais no ensino fundamental faz com que às vezes apareçam falsas soluções?

RPM

O método ao qual o leitor se refere é o de transformar uma equação irracional em uma equação polinomial elevando os dois lados da equação a um determinado expoente.

Um exemplo (RPM 19, pág. 15):

De = x – 3, elevando ambos os membros ao quadrado, chega-se à equação
x2 – 8x + 12 = 0,  cujas raízes são  2  e  6,  mas  2  é uma “falsa solução”.

Para compreender a razão pela qual esse método pode conduzir a raízes estranhas à equação, precisamos entender o seguinte fato: se  A = B,  então necessariamente  A2 = B2,  porém, se  A2 = B2,  não necessariamente  A = B,  como podemos verificar por meio do exemplo  (–4)2 = (4)2, mas  –4 4.

Dizendo de outra forma, se tivermos certeza de que  A  e  B  são não negativos, então A = B A2 = B2,  mas, se não tivermos essa certeza, só podemos afirmar que  A = B A2 = B2.

Assim sendo, quando elevamos ao quadrado os dois lados de uma equação, é certo que obteremos as raízes da equação original, porém também é possível que encontremos valores que verificam  A2 = B2  sem que verifiquem  A = B.  Fazendo a verificação, as raízes estranhas à equação original são facilmente identificadas.

No exemplo anterior, substituindo na equação original  x  por  2,  obtém-se = –1, mostrando que  2  não é solução dessa equação. Por outro lado, lembrando que, ao escrevermos o símbolo    para  x 0,  temos, por definição, 0, podemos, já de início, concluir que  x – 3 0,  ou seja,  x 3,  e eliminar a falsa solução  2  mesmo sem efetuar substituições.

Mais detalhes sobre esse assunto podem ser encontrados também na RPM 38, pág. 10.

É POSSíVEL FATORAR?

Um leitor do Rio de Janeiro pergunta: Quais são as soluções da equação  sen3x + cos3x = 1?  Tentei fatorar o lado esquerdo, mas não tive sucesso.

RPM

Inicialmente observamos que para todo número real   k [–1, 1]  vale a desigualdade  k3 <  k2.

Como seno e cosseno estão nesse intervalo, tem-se:

sen3x < sen2x  e   cos3x < cos2x.

Somando as duas desigualdades, vê-se que, para qualquer número real  x,  tem-se  sen3x + cos3x < 1.  Quando vale a igualdade? Vamos provar  que:

sen3x + cos3x = 1  se, e somente se, 

sen3x = sen2x   e   cos3x = cos2x.

	Se  sen3x = sen2x  e  cos3x = cos2x,  basta somar essas duas relações para obter  sen3x + cos3x = 1.
	Se  sen3x + cos3x = 1,  então vamos provar, por absurdo, que valem as igualdades sen3x = sen2x   e   cos3x = cos2x.

Suponhamos  que a tese seja falsa, isto é,

sen3x < sen2x  ou  cos3x < cos2x.

Logo, a tese é verdadeira:

sen3x = sen2x  e  cos3x = cos2x.

Portanto, as soluções da equação dada são as soluções do seguinte sistema

Essas soluções são:

sen x = 0  e  cos x = 1  ou cos x = 0  e  sen x = 1,

isto é, x = 2kp ou x = 2kp + .

Essas são todas as soluções da equação dada.

Para o leitor interessado, segue o gráfico de  f(x) = sen3x + cos3x,  0 x 3p.  Observe que esse gráfico encontra a reta  y = 1  nos pontos  0,  p/2,  2p   e  5p/2.

CUBOS, CUBOS E MAIS CUBOS

Um leitor do Ceará  pede ajuda da RPM para resolver a seguinte questão:

Uma determinada figura espacial é construída da seguinte maneira:

Pega-se um determinado cubo de aresta  3 cm.

Depois são colocados 6 cubos menores de aresta 1 cm (um terço da aresta do cubo maior), um em cada face do primeiro cubo, conforme mostra a figura a seguir.

E a partir daí, em cada passo, são sempre acrescidos cubos menores ainda (de aresta igual a um terço da aresta dos cubos que foram inseridos anteriormente) em cada face exposta dos cubos que foram colocados no passo anterior.

Desse modo, o volume total do sólido obtido executando esse processo infinitamente é:

(A) 36 cm3             (B) 54 cm3         (C) 729/22 cm3

(D)  378/11 cm3    (E) impossível quantificar

RPM

O volume do primeiro cubo é 33 = 27.

Primeiro passo: são colocados  6  cubos de aresta  1. O volume passa a ser:  27 + 6 × 13.

Segundo passo: Em cada um dos  6  cubos de aresta  1  são colocados 5 cubos de aresta .(São  5  cubos porque uma das faces de cada um dos cubos anteriores está grudada na face do cubo grande.)

Serão  6 × 5 = 30  cubos novos. Com isso, há um acréscimo de 6 × 5 × ()3 no volume do sólido. O volume novo do sólido passa a ser:

27 + 6 × 13 + 6 × 5 × ()3

Terceiro passo:  Em cada um dos  5  cubos de aresta      são colocados  5  cubos de aresta    ()2. 
Haverá  6 × 5 × 5  cubos novos de aresta  ()2. Com isso haverá um acréscimo de 6 × 5 × 5 ×  ()6 no volume  do sólido, que  passa a ser:

27 + 6 × 13 + 6 × 5 × ()3 + 6 × 5 × 5 × ()6 =

27 + 6 + + ...

A partir de  27,  os acréscimos formam uma progressão geométrica de razão   5/33 e primeiro termo igual a  6.  A soma dos infinitos termos dessa progressão é:

O volume total do sólido é   27  +  81/11 = 378/11    (D).