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Eduardo Tengan e Élvia Mureb Sallum
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RPM – Problemas
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As soluções dos problemas  356  a  360  serão corrigidas apenas se enviadas até  28 de fevereiro de 2014.

356

Para todo natural  n 3  prove que existe no plano um conjunto de  n  pontos tais que

a)   a distância entre dois desses pontos é irracional.
b) cada conjunto de três desses pontos determina um triângulo não degenerado de área      racional.

357

Mostre que um polinômio do tipo

p(x) = anxn + an-1xn-1 + …. + a3x3 + x2 + x + 1

com coeficientes reais não pode ter todas as raízes reais.

358

Se  a,  b,  c  são números reais tais que

a + b + c = 0,

mostre que

359

Duas casas de um tabuleiro  7 × 7  são pintadas de amarelo e as outras são pintadas de verde. Duas pinturas são ditas equivalentes se uma é obtida a partir da outra por uma rotação do tabuleiro. Quantas pinturas não equivalentes existem?

360

Na figura temos:

    um ponto  C  qualquer pertencente a um segmento  AB,
    semicírculos de diâmetros  AB,  AC  e  BC,
    o segmento  CD  perpendicular a  AB  e
    EF,  que é  tangente aos dois semicírculos menores.

Mostre que  ECFD  é um retângulo.

PROBLEMINHAS

1

Ao redor de um parque há várias casas. Paulo e Lúcia caminham ao redor do parque, no sentido horário, contando as casas. Partem de lugares diferentes de modo que a  5  casa de Paulo é a  12  casa de Lúcia e a  5  casa de Lúcia é a   30  casa  de Paulo. Quantas casas existem ao redor do parque?

2

Quatro meninos brincam de “tiro ao alvo”. Cada um atirou três vezes. O alvo tem vários anéis e a figura mostra como ficaram os dardos atirados.

Quem acerta no círculo central ganha  6  pontos, no anel mais próximo do círculo central ganha  5  pontos e assim, sucessivamente,  4,  3,  e  2  pontos à medida que os anéis se afastam do centro. Se os quatro meninos empataram, qual foi a contagem para cada jogador?

3

Numa sala de aula há 37 alunos. Desses, 9 têm 3 irmãos e 7 não têm irmãos; os demais têm um ou 2 irmãos. Os irmãos não pertencem a essa sala de aula. Outro dia a professora fez uma festa familiar: todos os alunos compareceram e cada um levou todos os seus irmãos. No total foram 98 crianças. Quantos alunos da sala têm 2 irmãos?

Retirados da Olimpíada Matemática Nandú

SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS PRPOSTOS NA RPM 80

346

(a) Mostre que o resto da divisão de  32012 – 1
      por  312 – 1  é  38  – 1.

(b) Determine o  mdc(32012 – 1; 312 – 1).

SOLUÇÃO

(Solução enviada por vários leitores.)

347

Um trapézio é dividido em quatro triângulos  por suas diagonais. Sejam A e B  as áreas dos triângulos adjacentes aos lados paralelos do trapézio. Encontre a área do trapézio em função de  A  e  B.

SOLUÇÃO

As diagonais dividem o trapézio em quatro triângulos de áreas  A,  B,  C  e  D  conforme indicado na figura.

Tem-se

	C = D,  pois  A + C = A + D (áreas de triângulos com mesma base e mesma altura).
	pois os triângulos de área A e B são semelhantes, com razão de semelhança .
	e daí  C = (AB)1/2 (os triângulos de áreas A e C têm uma base comum com alturas relativas a essa base respectivamente iguais a  h  e  k).

Logo, a área,  A + B + C + D,  do trapézio é  

A + B + 2 = ()2.

(Solução enviada por vários leitores.)

348

Por um ponto  P  exterior a um dado círculo G passam uma secante e uma tangente a G.  A secante intercepta  G em  A  e  B,  e a tangente intercepta  G em  C,  estando  A,  B  e  C  do mesmo lado do diâmetro que passa por  P.  Seja  Q  a projeção de  C  sobre esse diâmetro. Prove que a reta  QC  bissecta  o ângulo AB.

SOLUÇÃO

De relações métricas numa circunferência e num triângulo retângulo tem-se

PA.PB = PC2 e  PC2 = PQ.PO.

Logo, e, como os triângulos APQ e OPB  têm em comum o ângulo em  P,  segue que esses triângulos são semelhantes pelo caso LAL de semelhança de triângulos.

Assim, o ângulo  Q,  do triângulo APQ,  e o ângulo  B,  do triângulo  OPB,  são congruentes e, portanto, o quadrilátero AQOB é inscritível em uma circunferência, já que tem os ângulos opostos suplementares.

Como o triângulo  OAB  é isósceles, tem-se OAB ≡PBO ≡PQA e, como os ângulos OAB e OQB correspondem ao mesmo arco da circunferência circunscrita ao quadrilátero AQOB,  segue PQA ≡OQB.

Daí,

90o - PQA ≡AQC = 90o -OQB = BQC.

(Solução enviada por André Luis Souza de Araújo, RJ.)

349

a) Mostre que cos é uma raiz da equação

8x3 – 4x2 – 4x + 1 = 0

b)  Encontre todos os números racionais  p,  q  e  r  tais que

pcos + qcos + rcos = 1.

SOLUÇÃO

a) Seja a= = cos + isen. Pela fórmula de Moivre,

a7 = epi = (cos + isen) = –1

Logo,  a7 + 1 = 0  e,  como a 0, –1,  podemos dividir por  a + 1  e  a3,  obtendo 

a7 + 1 = 0   a6 – a5 + a4 – a3 + a2 – a + 1 = 0

 a3 – a2 + a – 1 + a–1 –a–2 + a–3 = 0

  (a3 + a–3) – (a2 + a–2) + (a + a–1) – 1 = 0

  (a + a–1)3 – (a + a–1)2 – 2(a + a–1) + 1 = 0.

Note que

a + a–1 = +

= (cos + isen) + (cos(–) + isen(–)) = 2cos,

logo,

(2cos)3 – (2cos)2 – 2(2cos) + 1 = 0

8(cos)3 – 4(cos)2 – 4(cos) + 1 = 0

b) Como a2 + a–2 = = 2cos e a3 + a–3 = 2cos, temos

Sendo y = cos, temos

py + q(2y2 – 1) + r(4y3 – 3y) = 1.

Pelo item anterior,  4y3 = 2y2 + 2y – 1/2,  logo temos

py + q(2y2 – 1) + r(2y2 – y – ) = 1

(2r + 2q)y2 + (p – r)y – (q + + 1) = 0

Vamos mostrar que, se  p,  q,  r  ,  então a única possibilidade para que isso ocorra é

De fato, observe que  8x3 – 4x2 – 4x + 1  é irredutível sobre , ou seja, não se fatora como produto de polinômios de grau menor com coeficientes racionais, pois, se isso ocorresse, teria pelo menos um fator de grau 1 e portanto uma raiz racional. Mas, pelo teorema da raiz racional, as raízes racionais de  8x3 – 4x2 – 4x + 1  pertenceriam ao conjunto e é fácil ver que nenhum desses valores é raiz de   8x3 – 4x2 – 4x + 1.

Agora, se existissem  a,  b,  c  ,  não todos nulos, tais que  ay2 + by + c = 0,  então dividindo o polinômio  8x3 – 4x2 – 4x + 1  por  ax2 + bx + c,  obteríamos um resto  r(x)  e quociente  q(x),  tais que

8x3 – 4x2 – 4x + 1 = (ax2 + bx + c)q(x) + r(x).

Substituindo x = y = cos obtemos que  r(x)  tem y = cos como raiz. Mas  r(x)  ou é identicamente nulo ou tem grau menor ou igual a 1, ou seja, teríamos que, se  r(x)  não fosse nulo, então y = cos seria racional, o que já vimos ser impossível.

E nem podemos ter  r(x)  nulo, pois, nesse caso, o polinômio  8x3 – 4x2 – 4x + 1  seria o produto de dois polinômios de grau menor com coeficientes racionais. Isso encerra a prova.

350

a)  Sejam  m,  n,  k  inteiros positivos. Mostre que

b)  Seja  p  um número primo. Mostre que

é um múltiplo de  p2.

SOLUÇÃO

(a)  Suponha que tenhamos um grupo com  m + n  pessoas, sendo  m  meninos e  n  meninas, e queiramos escolher  k  pessoas desse grupo. O número de maneiras diferentes de fazermos isso é a definição do símbolo . Mas podemos contar essas diferentes escolhas de outra forma: explicitando o número de meninos escolhidos. Se quisermos escolher 0 menino dentre os  m  possíveis, teremos de escolher  k  meninas dentre as  n  possíveis,  e o número de maneiras de fazermos isso é . Se, por outro lado, quisermos escolher 1 menino, teremos de escolher  k −1  meninas, e o número de maneiras de fazermos isso é . E assim por diante,  até  k  meninos e  0  menina. Portanto, a quantidade total de grupos de  k  pessoas que podemos escolher é dada não só pelo número , como também pela soma:

.

Isso prova a igualdade do enunciado.

(b) Primeiramente, observe que, para quaisquer números naturais  k < n,

Agora use esse fato e o item a) para escrever:

Portanto,

Para provarmos que esse número é múltiplo de  p2,  será suficiente provarmos que cada parcela para  j = 1,  2, ...,  p − 1,  é múltiplo de  p. 

Temos

,

Como  p  é primo, nenhum fator do denominador   j!(p − j)!   cancela   p   no numerador, logo esse binomial é de fato múltiplo de  p.

(Solução enviada por vários leitores.)