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Rogério Cesar dos Santos
Problema 1 Suponha que o jogo possua 2n cartas, sendo n pares distintos. Qual é a probabilidade de, já na primeira tentativa, o primeiro jogador virar corretamente todos os pares em sequência? Vamos por partes:
Probabilidade de o jogador virar corretamente um par na segunda tentativa, dado que ele já virou um par na primeira: Continuando, temos: Probabilidade de o jogador virar um par correto, quando há na mesa apenas quatro cartas, isto é, dois pares, dado que ele já virou todos os demais pares corretamente nas sucessivas tentativas anteriores: Probabilidade de o jogador virar o último par correto é, obviamente, igual a 1. Então, considerando que cada par virado é um evento independente dos demais, temos que a probabilidade P de o jogador virar, correta e sucessivamente, todos os pares da mesa é: P = Podemos exprimir essa probabilidade usando fatoriais, bastando inserir os termos que faltam para o denominador tornar-se um fatorial: P = Por exemplo, se um jogo possui 10 pares (20 cartas), a probabilidade de alguém ganhar todo o jogo desde a primeira tentativa é:
Já se o jogo possui 3 pares, a probabilidade será Se o jogo possui 2 pares, a probabilidade será, de acordo com a fórmula, 1/3, ou aproximadamente de 33,33%. Porém, é fácil ver o resultado intuitivamente neste caso: se o jogo possui 2 pares, então, após virar a primeira carta, ele terá 1/3 de chance de virar o seu par correspondente. E o segundo e último par ele vira com probabilidade 1.
Problema 2 Suponha que na mesa, após algumas rodadas, sobraram 2m cartas, e suponha que o jogador conheça a posição de k dessas cartas, com nenhum par casado dentre essas k cartas (pois senão o par conhecido seria o primeiro a ser virado por ele, e não entraria nos cálculos da probabilidade). Nessa situação, existem, portanto, k pares que gozam da seguinte propriedade: uma carta do par está em posição conhecida e a carta correspondente que lhe faz par está em posição desconhecida. E ainda há ao todo 2m – k cartas que estão em posições desconhecidas. Obviamente, ele não vai virar, de primeira, uma carta cuja posição lhe é conhecida. Sendo assim, a pergunta é: qual é a probabilidade P de ele virar corretamente algum par na sua próxima tentativa? Será a probabilidade P1 de ele virar um par cujas cartas ele não sabe a posição, mais a probabilidade P2 de ele virar um par do qual ele conhece a posição de uma das cartas. Vamos calcular essas probabilidades. Para calcular P1, observamos que, nesse instante, existem 2m – k cartas com posições desconhecidas, das quais 2(m – k ) correspondem a pares para os quais ambas as cartas são desconhecidas. A probabilidade de a primeira carta sorteada ser uma dessas cartas é, portanto, P1 = Para calcular P2, observe que o evento favorável aqui será aquele no qual ele vira inicialmente, dentre as 2m – k cartas com posições desconhecidas, alguma das k cartas cujos respectivos pares estão em posições conhecidas. Virando uma dessas cartas, a sua correspondente é virada automaticamente com probabilidade 1. Logo, P2 = Finalmente, a probabilidade P será P1 + P2. Por exemplo, se num determinado momento você sabe a posição de 3 cartas, de um total de 14 cartas (m = 7 pares ao todo) que estão na mesa, a probabilidade de você virar um par correto na sua próxima tentativa é:
P = sendo que o zero na primeira parcela nos diz que não há nenhum par cujas duas cartas estão em posições desconhecidas. E o 1 da segunda parcela nos diz que a chance de virar um par com uma das cartas em posição conhecida é de 100%. Aliás, sempre que houver na mesa 2m cartas, sendo m delas com posições conhecidas, a probabilidade de virar corretamente um par na próxima jogada é de 100%, obviamente. Pela fórmula, fazendo m = k, obtemos
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Probabilidade de o jogador virar corretamente um par na primeira tentativa: 
, pois, qualquer que seja a primeira carta sorteada, apenas uma das 2n – 1 restantes forma um par com ela.
, pois sobraram 2n – 2 cartas sobre a mesa e, qualquer que seja a carta sorteada a seguir, apenas uma das 2n – 3 restantes forma um par com ela.
. 
ou 0,00000015%.
0,067ou 6,7%.
; a probabilidade de, a seguir, sortear a carta que forma o par é 
. Portanto,
.
.
ou 34,5%.
Se há 4 cartas sobre a mesa, 2 das quais você sabe a posição, a probabilidade de você virar um par correto na próxima tentativa é, obviamente, de 100%. Pela fórmula:
= 0 + 1 = 1,
= 0 + 1 ou 100%