Responsáveis
Maria Elisa E. L. Galvão e Renate Watanabe
Envie suas perguntas para RPM – O Leitor Pergunta
IME/USP – Cidade Universitária
Rua do Matão, 1010, bloco B, sala 105
05508-090 – São Paulo, SP
ou para rpm@ime.usp.br

NÃO CONSEGUI

Escreve um leitor de Curitiba:

Bom dia! Tenho uma questão para  a seção O leitor pergunta.

Prove que  1k + 2k + 3k + ... + nk,  sendo  k  um número ímpar e  n  um número natural, é divisível por 1 + 2 + 3 + ... + n.   Tentei vários caminhos, mas não obtive sucesso.  Muito obrigado.

RPM

A demonstração baseia-se em dois fatos:

Fato 1 – Vale a igualdade  1 + 2 + 3 + ... + n = .

Fato 2 – Se  k  for ímpar,  xk + yk  é divisível por  x + y.

Há dois casos a considerar:

1)  n  é par;        2)  n  é ímpar.

Para simplificar a digitação (e talvez a compreensão), no primeiro caso, vamos argumentar com n = 10  e no segundo caso, com  n = 11.

Se n = 10, 1 + 2 + 3 + ... + 10 = = 5 × 11.

Portanto, é necessário provar que 

S = 1k + 2k + 3k + ... + 10k  é divisível por  5  e por  11.

Como

S = (1k + 10k) + (2k + 9k) + (3k + 8k) + ... + (5k + 6k),  observando que

11 = 1 + 10 = 2 + 9 = 3 + 8 = ... 5 + 6  e usando o Fato 2, vemos que a soma em cada parêntesis é divisível por 11 e, portanto,  S  é divisível por  11.  Também temos

S = (1k + 9k) + (2k + 8k) + (3k + 7k) + ... + 5k + 10k  e cada soma entre parêntesis, também pelo Fato 2, é divisível por 5. Logo,  S  é divisível por  5,  c.q.d.

Se  n = 11, 1 + 2 + 3 + ... + 10 = = 11 × 6.  

Portanto, é necessário provar que

S = 1k + 2k + 3k + ... + 11k  édivisível  por 6 e por 11.

Como

S = (1k + 11k) + (2k + 10k) + (3k + 9k) + ... + (5k + 7k) + 6k,  observando que

1 + 11 = 2 + 10 = 3 + 9 = ... 5 + 7  e usando o Fato 2,  vemos que  S  é divisível por   6.   Também S = (1k + 10k) + (2k + 9k) + (3k + 8k) + ... + (5k + 6k) + 11k   e cada uma das parcelas é divisível por 11.  Logo, S  é divisível por  11, c.q.d.

A demonstração para  n  par qualquer,  n = 2k,  e  para  n  ímpar qualquer,  n = 2k + 1,  pode ser feita seguindo os mesmos passos dados para  n = 10  e  n = 11.

FUNÇÃO QUADRÁTICA E MAPA DE TOCANTINS

Escreve um leitor de Tocantins: Resolvendo as provas de ciências exatas do vestibular de 2004 da Universidade Federal do Tocantins (UFT), a fim de disponibilizá-las aos alunos da rede pública, deparei-me com uma questão que me deixou em dúvida.

Trata-se de uma questão que versa sobre função quadrática. São fornecidos três pontos, sendo que para um se fornece as coordenadas (Alvorada) e para os outros dois pontos (Miracema e Araguaína) só se conhece o valor da sua distância à origem do eixo cartesiano dado. A partir disso e da apresentação do domínio e contradomínio que define a função, pergunta-se sobre a existência de uma função quadrática que passe pelos três pontos.

Um colega propôs que a resolução fosse obtida por métodos de aproximação envolvendo o cálculo numérico. Todavia, uma vez que para resolver a questão o candidato deveria se valer apenas da Matemática do ensino médio, gostaria de saber dos colegas da RPM, mais familiarizados com o assunto, sobre o modo como um aluno do ensino médio deveria proceder para julgar se o item proposto na questão, enunciada abaixo, era correto ou incorreto (a UNB, que elaborou a prova na época, trouxe no gabarito oficial o item como sendo correto).

... A figura acima representa o estado do Tocantins em um plano cartesiano xOy com origem O = (0, 0) na cidade de Palmas. Assim, cada cidade mencionada no mapa corresponde a um ponto de coordenadas  (x, y)  nesse plano, em que a unidade de medida, nos dois eixos coordenados, é o km. A tabela a seguir apresenta as distâncias aproximadas de algumas cidades desse estado à sua capital, sempre considerando-se que o percurso fosse feito em linha reta.

Com base nas informações apresentadas acima, julgue o item que se segue, tendo como referência o plano cartesiano  xOy  descrito:

Existe uma função quadrática definida do intervalo [–100, 160] no intervalo [–250, 330] cujo gráfico passa por Alvorada, Miracema do Tocantins e Araguaína.

RPM

Inicialmente é necessário verificar se as abscissas dos  três  pontos estão entre  –100  e  160  e se as ordenadas desses pontos estão entre  –250  e  330.

As coordenadas de Alvorada são dadas e estão nos intervalos  explicitados.

As coordenadas  de Miracema são  (xM, yM)  com  xM2 + yM2 = 592;  logo, xM  e  yM estão entre  –59  e  59,  portanto estão nas faixas desejadas.

Para as coordenadas de Araguaína: ambas são positivas,   xAr < 156  (abscissa de Dianópolis), e de  xAr2 + yAr2 =  3262  obtém-se  0 < yAr < 326.

Como os pontos que representam as três cidades não estão alinhados e suas coordenadas estão nas faixas desejadas, a existência da função  f  vai depender da existência da solução de um sistema de  três  equações, do tipo  axi2 + bxi + c = yi,  i = 1,  2,  3,  nas incógnitas  a,  b  e  c,  sendo  (xi , yi),  i = 1,  2,  3,   as  coordenadas das  três cidades consideradas.

O determinante da matriz dos coeficientes desse sistema é um determinante de Vandermonde e é igual a  (x3 – x2).(x3 – x1).(x2 – x1).  Como os pontos que representam as cidades têm abscissas distintas, o determinante da matriz dos coeficientes não é zero e, portanto, o sistema tem solução, isto é, a função  f  existe e é quadrática porque os pontos não estão alinhados  (a  é diferente de 0).

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS

Um leitor do Amazonas solicita ajuda para resolver os problemas  I  e  II  a seguir.

I.  Resolver  = .

RPM

Usando a identidade  (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab, obtemos

Fazendo as contas no primeiro membro e introduzindo, no segundo membro, a soma  10/9,  obtém-se:

= +

Fazendo y = , obtemos a equação do 2 grau  y2 – y – = 0 cujas raízes são  5/3  e  – 2/3.

De vem  x2 = – 5,  portanto, sem soluções reais,  e de vem  x = .

II.  Se  x  é um número tal que  10x4 + 7x2 + 10 = 0,   determine o valor de ()2.

RPM

Como  x = 0  não é solução da equação,  podemos supor  x 0  e dividir os dois membros da equação por  x2,  obtendo:

10x2 + 7 + = 0  ou  (x2 + ) = .

Então

( = x2 + 2 + = + 2 = = 1,3.