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Responsáveis
As soluções dos problemas 351 a 355 serão corrigidas apenas se enviadas até 30 de outubro de 2013.
351 Seja ABC um triângulo acutângulo de circuncentro O e sejam D, E, F as interseções das semirretas AO, BO e CO com os lados BC, AC e AB, respectivamente. Sendo R o circunraio do triângulo ABC, mostre que (Enviado por Ricardo Cesar da S. Gomes, Iguatu, CE.)
352 Determine todos os números naturais m e n tais que 28 + 211 + 2m = n2.
353 Mostre que os 1000 dígitos após a vírgula decimal de (8 +
354 São dados uma balança de dois pratos e pesos de 20, 21, 22, ..., 2100 gramas. Os pesos devem ser colocados um a um na balança de modo que o prato esquerdo nunca seja mais pesado do que o direito. De quantas formas isso pode ser feito?
355 Considere um triângulo ABC e pontos X, Y e Z nos lados BC, AC e AB, respectivamente, tais que A, B, C, X, Y e Z são todos distintos entre si. Mostre que as circunferências circunscritas aos triângulos AYZ, BZX e CXY têm um ponto em comum.
PROBLEMINHAS 1 Cinco pontos estão sobre uma mesma reta. Quando listamos as 10 distâncias entre dois desses pontos, da menor para a maior, encontramos 2, 4, 5, 7, 8, k, 13, 15, 17 e 19. Qual é o valor de k?
2 Se a distância entre duas cidades for, por exemplo, 190 km e uma pessoa em seu carro viajar de uma até a outra em 2 h, dizemos que nessa viagem o carro desenvolveu uma velocidade média de 190/2 = 95 km/h. Suponha que uma pessoa viaja de uma cidade A para uma cidade B com velocidade de 90 km/h e volte de B para A com velocidade de 110 km/h. Nessa viagem de ida e volta, qual foi a velocidade média desenvolvida?
3 Um motorista, durante uma viagem da cidade A para a cidade B, olhou para o hodômetro e, notando que ele marcava a quilometragem 21518, percebeu que já havia percorrido 1/3 do seu caminho. Em um outro instante, reparou que o hodômetro assinalava a quilometragem 21620 e, portanto, faltava percorrer apenas 1/10 do seu caminho. Qual a distância entre as cidades A e B? (Probleminha1 - banco de questões OBMEP 2010, Respostas na página Painéis
Soluções dos problemas propostos na RPM 79 341 Determine qual é o maior dos números SOLUÇÃO Se x é um real positivo, temos
Logo, fazendo x = 123457 + 10999, segue (Solução enviada por diversos leitores.)
342 Uma roda circular gira, sem escorregar, no interior de um círculo cujo diâmetro é o dobro do diâmetro dela. Marque um ponto P na circunferência da roda e descreva seu movimento. Justifique sua solução. SOLUÇÃO Suponhamos, sem perda de generalidade, que no instante inicial o ponto P seja o ponto de tangência das duas circunferências. Sejam O o centro da circunferência maior, aqui chamada simplesmente de circunferência, e C o centro da circunferência menor, aqui chamada de “roda”. Sejam r o raio da roda e 2r o raio da circunferência. Se a roda girar sem escorregar no sentido horário, o centro C terá imagem C1. Na figura, indicamos a = (Solução enviada por Nilton Lapa, SP.)
343
SOLUÇÃO Consideremos as alturas CH e PI, respectivamente, dos triângulos ABC e APB, relativas ao lado AB. Os triângulos CHF e PIF são semelhantes; portanto, A área do triângulo PAB, S(PAB), é dada por S(PAB) = A área do triângulo ABC, S(ABC), é dada por S(ABC) = Assim, Analogamente, utilizando os triângulos ABC e PBC, obteremos Utilizando os triângulos ABC e PCA, obteremos Então,
(Solução enviada por diversos leitores.)
344 Dado um inteiro positivo n, definimos S(n) como a soma dos algarismos de n. Definimos ainda C(n) a iteração de S(n) até obtermos um número entre 1 e 9. Por exemplo, Seja Fn o n-ésimo número de Fibonacci definido por: F0 = 0, F1 = 1 e Fn+2 = Fn+1 + Fn para n > 0, de modo que seus primeiros termos são 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... . Qual o valor de C(F10 000)? SOLUÇÃO Temos n n Calculando o resto das divisões de Fn por 9, Fn(mod 9), verificamos que essa sequência é periódica de período 24:
Portanto, como 10.000 C(F10.000) e, sendo 1 < C(F10.000) < 9, temos que C(F16) = 6. (Solução adaptada das enviadas por vários leitores.) * ver, por exemplo, a solução do problema 334, RPM 79.
345 Em uma república estudantil, há 11 pessoas e uma geladeira. Essa geladeira possui n cadeados e cada uma das 11 pessoas possui as chaves de k desses cadeados. Quais os menores valores de n e k para que a geladeira só possa ser aberta na presença de 6 ou mais membros da república? SOLUÇÃO Vamos, primeiramente, mostrar que com n = G1, G2, G3, ..., G462. Para cada um dos 6 estudantes do grupo 1, entregue as chaves do cadeado 1; para cada um dos 6 estudantes do grupo 2, entregue as chaves do cadeado 2; e assim por diante. Foram entregues 6 × 462 chaves no total; assim, por simetria, cada estudante recebeu k = Note que essa distribuição de chaves e cadeados satisfaz as condições do problema: dados 5 estudantes, nenhum deles possui a chave do cadeado correspondente ao grupo Gi dos 6 estudantes restantes, logo 5 estudantes (ou menos) não conseguem abrir a geladeira. Por outro lado, dado um grupo de 6 estudantes, digamos G1, qualquer outro Gi é tal que G1 Mas será essa a “melhor” solução? Ou haveria outra envolvendo menos cadeados e chaves? Como veremos, a resposta é não! Para isso, vamos criar uma função injetora f entre o conjunto de grupos de 5 estudantes. {H1, H2, ..., H462} (pois e o conjunto de cadeados {C1, C2, ..., Cn}. A função f : {H1, H2, ..., H462} Mas as 6 pessoas em {x}
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