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Chico Nery
Um aluno com idade entre 15 e 18 anos já está suficientemente maduro para entender várias das propriedades dos números naturais, inclusive suas demonstrações e aplicações na resolução de interessantes problemas. Acredito até que a aritmética dos números naturais seja uma das partes da Matemática mais sedutoras no sentido de atrair o estudante para o universo dos números, ou seja, para o estudo da Matemática. Vamos então ao assunto propriamente dito. 1. Sendo 21 = 3 × 7, podemos afirmar que 21 é múltiplo de 3 e 7, e tanto o 3 como o 7 são divisores de 21. Quando montamos a “tabuada” de algum número natural, estamos obtendo os seus múltiplos, por exemplo: 3 × 1 = 3, 3 × 2 = 6, 3 × 3 = 9, a tabuada do 3 gera os seus infinitos múltiplos1: M(3) = {3, 6, 9, 12, 15, ...} 2. Consideremos um número natural, por exemplo o 42, e todas as maneiras de escrevê-lo como um produto de dois números naturais: 42 = 1 × 42 = 2 × 21 = 3 × 14 = 6 × 7 Reunindo esses fatores que “produzem” o 42, obtemos o conjunto dos divisores dele: D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} Quando um número p é primo, ele possui apenas dois divisores: D(p) = {1, p}. Exceto o zero, todo número natural n tem um conjunto finito de divisores, onde o menor elemento é o 1 e o maior é o próprio n. 3. À primeira vista pode parecer que a quantidade de divisores (naturais) de um número natural n seja “par”, já que para obter os divisores dele vamos formando “duplas” de produto n, mas isso não é verdade por causa dos “quadrados perfeitos”. Observemos, por exemplo, o 16: 16 = 1 × 16 = 2 × 8 = 4 × 4 Numa das “duplas”, os dois fatores coincidem. D(16) = {1, 2, 4, 8, 16} (5 divisores). Portanto, para os “quadrados perfeitos” a quantidade de divisores é ímpar. 4. A quantidade de divisores de um número natural é facilmente determinável, bastando para isso escrevê-lo na forma canônica, isto é, decompô-lo em fatores primos. Tomemos como exemplo o número 72: 72 = 23.32 Para que um número natural seja divisor de 72, ele, decomposto, deve ser da forma 2α.3β, com α podendo ser 0, 1, 2 ou 3, e β podendo ser 0, 1 ou 2. Se α pode assumir 4 valores e β pode assumir 3 valores, o par de expoentes (α, β) pode produzir, aplicando o Princípio Multiplicativo, 4.3 = 12 possibilidades e, portanto, o número 72 possui 12 divisores, que são: 20.30, 20.31, 20.32, 21.30, 21.31, 21.32, 22.30, ou seja, D(72) = {1, 3, 9, 2, 6, 18, 4, 12, 36, 8, 24, 72}. Analogamente, se um certo número natural n, decomposto em fatores primos, for tal que: n = os divisores de n serão da forma n = Notemos que a quantidade de divisores de um número natural não depende dos fatores primos que o compõem, e sim dos expoentes desses fatores. Esse raciocínio é nitidamente generalizável, ou seja, se um número natural n for tal que
a quantidade de divisores de n será igual a Q(n) = (α1 + 1).(α2 + 1). ... .(αn + 1). 5. Para o produto dos divisores de um número natural também podemos estabelecer uma “fórmula”. Tomemos o número 42 como exemplo. As duplas de fatores naturais que produzem o 42 são 1.42, 2.21, 3.14 e 6.7. Notemos que o produto dos divisores do 42 é: Nesse resultado, o expoente 4 é exatamente a metade da quantidade de divisores do 42, sugerindo que a “fórmula” para o cálculo do produto dos divisores de um número natural n seja P(n) = n Essa ideia é claramente generalizável para qualquer n natural que não seja um quadrado perfeito. Caso n seja um quadrado perfeito, vejamos o que ocorre, tomando como exemplo o número 36, cuja quantidade de divisores é 9. 36 = 1.36 = 2.18 = 3.12 = 4.9 = 6.6, então P(36) = 1.36 . 2.18 . 3.12 . 4.9 . 6 = 36 . 36 . 36 . 36 . 6 P(36) = 364.361/2 = 369/2, ou seja, P(36) = n Continua valendo a “fórmula” P(n) = n 6. A soma dos divisores de um número natural também poder ser expressa por uma “fórmula”. Tomemos como exemplo o número 200 em sua forma canônica: 200 = 23.52. Os seus divisores são: 20.50, 20.51, 20.52, 21.50, 21.51, cuja soma S(200) é: S(200) = 20.50 + 20.51 + 20.52 + 21.50 + 21.51 + 21.52 + As duas somas 20 + 21 + 22 + 23 e 50 + 51 + 52 são somas de duas progressões geométricas, uma de razão 2 e a outra de razão 5, e ambas com o primeiro termo igual a 1. Lembrando que a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG é dada por Sn = S(200 ) = Para o aluno se convencer da generalidade dessa ideia, eu ainda usaria como exemplo o cálculo da soma dos divisores de mais um número, do 1800: 1800 = 23.32.52, mostrando, de trás para frente, que o produto (20 + 21 + 22 + 23)(30 + 31 + 32)(50 + 51 + 52), ao ser distribuído, gera exatamente a soma dos 36 divisores de 1800, e daí podemos escrever S(1800 ) = Se nesse momento do curso o aluno entender e aceitar que, para um número natural n =
gera a soma de todos os divisores de n e, que, portanto: S(n) = já me dou por satisfeito, afinal ele ainda não é um estudante universitário num curso de Teoria dos Números, mas apenas um estudante de ensino médio e que talvez nem siga uma carreira no campo das exatas. Com o conteúdo exposto até aqui, acredito mesmo que as sementes do assunto em questão – “Aritmética dos números naturais” – foram bem plantadas, pois o aluno aprendeu a escrever um número natural na forma canônica, a achar seus divisores, quantos são eles, qual é o produto e qual é a soma deles. Já é um bom conhecimento da “aritmética dos números naturais” e, de posse disso, podemos resolver uma quantidade enorme de exercícios, no sentido de desenvolver o raciocínio do aluno e o seu gosto pela Matemática.
Exercícios
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, podemos concluir que:
.
.
, o produto
posição?