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Responsáveis
Um leitor do Ceará, que está se preparando para uma prova de seleção, pediu, durante o semestre, a solução de diversos problemas interessantes. A seção publica neste número três desses problemas.
Um inteiro positivo é dito ascendente se sua representação decimal possui pelo menos dois algarismos, e cada um deles é menor do que todos os algarismos situados à sua direita. O número de inteiros positivos ascendentes é
RPM A tabela mostra como construir números inteiros ascendentes, começando com 89, único inteiro ascendente positivo cujo primeiro algarismo é 8. Completando a tabela, percebe-se que, se numa linha a quantidade de números é n, na linha seguinte será 2n + 1. Portanto, o número de inteiros ascendentes é: 1+ 3 + 7 + 15 + 31 + 63 + 127 + 255 = 502.
(Repartindo o tesouro) A lei pirata estabelece que, para repartir as moedas de um tesouro, o capitão deve escolher um grupo de piratas e repartir igualmente as moedas entre estes até que não possua moedas suficientes para dar uma a mais a cada pirata. As moedas que sobram são a parte do capitão. O capitão Morgan deve repartir um tesouro que contém menos de 1000 moedas de ouro. Ele sabe que, se escolher 99 piratas, ficará com 51 moedas e, se escolher 77 piratas, caberão a ele apenas 29 moedas. Determinar quantos piratas deve escolher Morgan para ficar com a maior quantidade de moedas e, para essa quantidade de piratas, quantas moedas ele ganhará. Observação: cada pirata escolhido deve receber pelo menos uma moeda.
Seja m o número de moedas, m < 1000. Na primeira divisão, cada pirata receberia x moedas. Então, m = 99x + 51. Na segunda divisão, cada pirata receberia y moedas. Então, m = 77y + 29. Portanto, 99x + 51 = 77y + 29, ou seja, 7y – 9x = 2, x e y inteiros. Apresentamos duas maneiras de resolver essa equação: usando divisibilidade ou usando procedimentos de resolução de equações diofantinas (RPM 19, p. 39). Por divisibilidade: se 7y = 9x + 2, então 9x + 2 deve ser múltiplo de 7. Vê-se que o primeiro valor para x tal que 9x + 2 é múltiplo de 7 é x = 6 e o próximo valor (x = 13) faz m > 1000. Logo, x = 6, y = 8 e m = 645. Como equação diofantina: uma solução particular da equação diofantina 7y – 9x = 2 é x = –1 e y = –1. A solução geral é x = 7k – 1 e y = 9k – 1. Vamos impor que m = 99x + 51 < 1000, isto é, 99(7k – 1) < 1000 ou 0 < k < 1,58. Assim, k = 1 e x = 6, y = 8, m = 645. O capitão deve dividir as 645 moedas entre p piratas de modo que o resto seja o maior possível, isto é, ele deve dividir o tesouro entre 323 piratas, dando uma moeda para cada um e ficando com as 322 moedas restantes. Cabe a pergunta: o capitão não poderia ficar com mais do que 322 moedas? A resposta é não: se p piratas recebem x moedas com resto r maior do que 322, então p > r e 645 = xp + r > xp + 322 ou 645 – 322 = 323 > xp com p > 322, o que levaria a x < 1, impossível.
No triângulo ABC, a mediana e a altura relativas ao vértice A dividem o ângulo BÂC em três ângulos de mesma medida. Determine a medida do menor lado desse triângulo, sabendo que seu maior lado mede 20 cm.
RPM
Observação: Calculando o seno do ângulo HÂC no triângulo AHC, vê-se que esse ângulo mede 30°. Portanto, o ângulo no vértice A do triângulo ABC mede 90°, isto é, o triângulo ABC é retângulo. Pode-se demonstrar que isso sempre acontece nas condições do enunciado do problema, independentemente da medida 20.
Um leitor da Bahia enviou o seguinte problema, pedindo uma solução: Mostre que, dentre os números da forma: 14, 144, 1444, 14444, ... , 1444...4, os únicos quadrados perfeitos são: 144 = 12² e 1444 = 38².
Problemas de Aritmética como esse, com enunciado simples, exigem cuidado. Eles podem ser muito fáceis, ..., muito difíceis... e mesmo abertos (ninguém ainda conhece uma solução). Por isso, se após algumas tentativas não se encontrar uma solução, é prudente tentar descobrir a origem do problema. O problema acima encontra-se no livro Teoria dos Números, publicação da SBM, de vários autores, entre eles Eduardo Tengan, um dos responsáveis pela seção Problemas da RPM. Felizmente, esse problema é um dos fáceis, e Tengan nos enviou uma solução, que, adaptada para a RPM, ficou assim: Começando com 14444, 14444 = 16 × 902 + 12; 144444 = 16 × 9027 + 12; 1444444 = 16 × 90277 + 12 ... e assim por diante. Observa-se(*) que todos esses números deixam resto 12 quando divididos por 16. Estamos procurando números n tais que 16q + 12 = n2. Obviamente, n terá que ser par, isto é, n = 2m. Teríamos 4m2 = 16q + 12, ou seja, m2 = 4q + 3. Isso é impossível porque o quadrado de qualquer número inteiro, quando dividido por 4, deixa restos 0, 1 ou 2. Nunca deixa resto 3. Logo, nenhum dos números acima é um quadrado perfeito. (*) Se o número 14444 ... 4 tiver 5 ou mais algarismos, ele poderá ser escrito na forma
ONDE ESTÁ O ERRO? Escreve um leitor de Minas Gerais:
Problema: Na figura ao lado, calcular TT ’.
O triângulo O'T'M' é retângulo e isósceles; então, TM = TO = r. (1) O triângulo O ’T ’M ’ é retângulo e isósceles; então, T ’M = T ’O ’ = R. (2) Mas TT ’ = TM + T ’M. Então, de (1) e (2)
No triângulo OBT, tg60o = No triângulo O ’BT ’, tg30o = Como TT ’ = BT ’ – BT, então TT ' =
As duas respostas estão corretas porque nas condições do problema proposto, existe uma relação entre os raios das circunferências, que verificaremos a seguir. Essa relação implica que as duas respostas obtidas são iguais, pois coincidem com a que obtemos quando igualamos as expressões para o segmento TT ’, que é R =
O triângulo ABC, cujos ângulos dos vértices A e B medem, respectivamente, 30o e 120o, é um triângulo isósceles; chamemos: AB = BC = d, AC = 2AF = d
No triângulo BEO’, sen30o = Como o triângulo BCO’ também é isósceles (ver medidas dos ângulos marcados na figura), temos d = BC = BO’ = 2R. A semelhança entre os triângulos ADO e AEO’ fornece
e essa relação leva a R + r =
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e 3
.
C = A
BC e BA são tangentes à circunferência de 
BT = 
.
.
r.
.
, então BO' = 2R e cos30
, logo,
r; 3R 
r = R + r.