Joel Faria de Abreu
Brasília, DF

Por imposição do raciocínio lógico, somos levados a demonstrar, na Matemática, até as proposições “intuitivas”, tidas como óbvias. Vejamos como estamos sujeitos a erros inesperados deixando de usar o raciocínio lógico e utilizando apenas a intuição.

Suponhamos que seja possível colocar uma corda circundando a Terra, ajustando-a ao equador. Em seguida, retiramos esta corda, aumentamos um metro no seu comprimento e a recolocamos em volta da Terra, formando uma circunferência concêntrica com o equador. Assim, teremos um vão entre o equador e a corda, ou melhor, uma diferença x entre os raios das duas circunferências. Então, perguntamos: usando-se somente a intuição, qual é o valor aproximado de x? Ou seja, qual é a largura aproximada deste vão entre o equador e a corda?

Cremos que o leitor dirá: não existe vão algum... E desprezível esta diferença... Como a Terra é tão grande e só se aumentou um metro na corda, é claro que o vão é muito pequeno e, por conseguinte, desprezível... Ledo engano! Este vão é de aproximadamente 16 cm! E estranho, pois a intuição nos leva a uma diferença muito pequena, mas recursos matemáticos — estes sim, confiáveis — nos mostram o verdadeiro valor de x. Na realidade, a intuição é um poderoso recurso da inteligência e tem sido responsável por muitas descobertas científicas. Mas, às vezes, a intuição sozinha pode induzir-nos ao erro e o fenômeno que estamos considerando é um exemplo disto.

Passemos ao cálculo de x, sendo C o comprimento do equador e r o raio da Terra, temos:

C= 2 P r

C +  1 = 2 P  (r + x)

C +  1 = 2 P r + 2 P x

C + 1 = C + 2 P x

2 P x = 1

Notamos que x é independente de r; independente portanto, do comprimento da circunferência. Repetindo-se o mesmo processo da experiência anterior, por maior que fosse o comprimento da circunferência, teríamos os mesmos 16 cm.

Passemos, agora, ao segundo exemplo: consideremos um círculo com raio igual ao raio da Terra. Suponhamos ser possível cobrir toda a superfície deste círculo por uma outra superfície, modelável, ajustada a ele. Retiramos, em seguida, esta segunda superfície, aumentamos sua área de um metro quadrado, e a remodelamos, até se transformar novamente num círculo, com área, obvia­mente, um metro quadrado maior. Em seguida, justapomos as duas superfícies de modo a obter dois círculos concêntricos. Assim, haverá uma diferença x entre os raios dos dois círculos. Perguntamos novamente: usando-se apenas a intuição, qual é um valor aproximado de x?

Cremos que o leitor, desta vez, alertado pelo problema anterior, teria maior cautela para emitir um juízo, baseado apenas em sua intuição. De fato, pode­ríamos pensar, como conseqüência do erro cometido anteriormente, que x tenha um valor constante. Mas, neste problema, tratando-se de um circulo de enorme área, a diferença é desprezível. Isto porque, agora, pela fórmula

A = P r²,

e por um cálculo análogo ao primeiro, concluímos que x depende de r. Lançando mão do cálculo do limite, notamos também que x decresce na medida em que r cresce. Na realidade, para o valor de r = 6.355.000 m (raio da Terra), a diferença dos respectivos raios representa uma fração de milímetro. Portanto, desprezível...