Antonio Carlos do Patrocínio
IMECC – UNICAMP

Muitos problemas de Matemática, provenientes de situações concretas requerem soluções inteiras positivas; nesses casos, devemos buscar entre todas as soluções possíveis do modelo matemático – em geral, equações – aquelas soluções que sejam compatíveis com a natureza do problema original.

Considere, por exemplo, o problema de encontrar todos os retângulos cujos lados sejam números inteiros e cuja área seja numericamente igual ao perímetro (RPM 4, pág. 28). Evidentemente, embora a equação correspondente: mn = 2 (m + n), admita soluções não-positivas, a natureza do problema as exclui; as soluções convenientes, nesse caso, são apenas duas: n = 4, m = 4  e  n = 3, m = 6.

Nesse artigo analisamos dois de tais problemas.

Deseja-se adquirir um total de 100 animais das espécies A, B e C; sabendo-se que os animais dessas espécies custam 1, 10 e 20 OTN’s, respectivamente, e que o total disponível para a compra é de 200 OTN’s, pergunta-se: quantos animais de cada espécie devem ser comprados?

O modelo matemático para esse problema é o sistema de equações:

Como se trata de um sistema linear com duas equações e três incógnitas é usual esperar-se uma infinidade de soluções; com efeito, podemos proceder do seguinte modo:

Subtraindo a 1ª da 2ª equação temos:

Multiplicando a 1ª equação por – 10 e somando-a com a 2ª temos:

Atribuindo-se valores arbitrários para z encontramos valores para x e y de modo que as ternas dada a sua natureza). Para z = 1, obtém-se x = 90 e y = 9; então (90, 9, 1) é uma solução inteira positiva, e portanto solução do problema. Existem outras soluções inteiras positivas para o sistema em questão?

Da equação 100 – 19z = 9y temos:

Diremos que um poliedro convexo é regular se todas as suas faces são polígonos regulares congruentes e o número de arestas em cada vértice é o mesmo para todos os vértices do poliedro.

Para saber quantos poliedros regulares existem usaremos o Teorema de Euler** para poliedros convexos:

“Se P é um poliedro convexo com V vértices, A arestas e F faces, então: V + F – A = 2”

Teorema

Existem apenas 5 poliedros regulares: cubo, tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Demonstração:

Em um poliedro regular seja x o número de arestas de cada face e seja y o número de arestas em cada vértice. É claro que x 3 e y 3. Como cada aresta pertence a exatamente duas faces, temos: xF = 2A; e como cada aresta termina em dois vértices, temos yV = 2A.

Substituindo:

Assim, para todo poliedro regular os números inteiros x 3,  y 3  e A satisfazem essa equação.

Logo x e y não podem ser ambos maiores do que ou iguais a 4; então x = 3  ou  y = 3.

Suponhamos x = 3. Substituindo na equação (**) temos:

Se y = 3 obtém-se A = 6; temos então a solução x = 3, y = 3, A = 6. Nesse caso,

Se y = 4 temos A = 12, de modo que (3, 4, 12) é uma solução para a qual F = 8 e V = 6 e o poliedro regular é o octaedro.

Para y = 5 obtém-se A = 30 e à solução (3, 5, 30) corresponde F = 20 e V = 12, o icosaedro.

Se x = 4 e y = 3 então A = 12, F = 6, V = 8 e o poliedro é o hexaedro (cubo).

Finalmente, se x = 5, y = 3 então A = 30, F = 12 e V = 20 que corresponde ao dodecaedro.

NOTA: A discussão de problemas como esses tem acontecido no Cursos de Reciclagem para profesores de 1º e 2º graus do Estado de São Paulo, ministrados por professores do Depto. De Matemática do IMECC como parte do convênio UNICAMP - SECRETARIA DE EDUCAÇÃO.