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Ingo
Valter Schreiner* Num curso sobre o ensino de Geometria nos 1.º e 2.º graus, realizado em Panambi – RS, em setembro de 1984, o professor Luiz Márcio P. Imenes mostrou aos participantes dois caleidociclos. Não conhecia esse material, que me fascinou tanto do ponto de vista geométrico como do ponto de vista artístico. Os dois caleidociclos eram decorados com motivos de Maurits C. Escher (1898-1972), um artista gráfico dos Países Baixos. Ao girar os caleidociclos de dentro para fora ou de fora para dentro, apresentam-se ao espectador ciclos de figuras diferentes. A compreensão do funcionamento e a construção desses caleidociclos podem ser usadas como aplicações interessantes e divertidas da Geometria Espacial.
Para acompanhar este artigo monte um caleidociclo, observando as instruções a seguir: 1) Material necessário: régua, esquadro, tesoura, lápis, borracha, cola e cartolina (ou qualquer papel um pouco mais grosso que o comum). 2)
Sobre a cartolina desenhe esta malha de triângulos:
Nesta
construção a precisão é importante. Observe que, com exceção de
alguns, os triângulos da malha são isósceles, de base a, e
altura relativa à base é a também. Os demais triângulos
O valor de a depende do pedaço de cartolina disponível. Não convém, por razões práticas, fazer a menor do que 4 cm. 3) Recorte segundo a linha de traço forte.
4) Nas linhas de traço fino você fará dobraduras. Nas linhas verticais dobre o desenho para dentro e nas inclinadas dobre para fora. Um detalhe prático: antes de dobrar convém vincar a cartolina. Isto pode ser feito com a régua e uma faca sem ponta.
5) Após as dobraduras, a parte hachurada do desenho receberá cola, ficando, por isso, dentro do caleidociclo. Cole A’ sobre A, B’ sobre B e C’ sobre C. Assim procedendo você obtém um conjunto de seis tetraedros em cadeira. Eles se ligam por uma aresta comum. 6) Agora forme um elo, articulando o primeiro tetraedro com o último. Cole D’ sobre D e E’ sobre E. Está pronto o seu caleidociclo. Espere a cola secar antes de brincar com ele.
O
caleidociclo que você construiu é composto de seis tetraedros. Mas é
possível construir outros, com maior número de tetraedros. De um modo
geral, um caleidociclo é formado por um número par 2k de
tetraedros, sendo que
k Tais tetraedros são congruentes e suas faces são triângulos isósceles congruentes, de base a e altura relativa à base x.
Os
2k tetraedros têm, dois a dois, uma aresta de medida a em
comum.
Com esta cadeia, como você viu, formamos um ciclo fechado. Podemos girar este ciclo num sentido ou noutro, como mostram as setas duplas.
Girando aparece um “buraco” estrelado no centro do caleidociclo. Em certo momento este buraco desaparece. Nesse instante tetraedros vizinhos têm suas faces superpostas. Nessa posição, note que o “contorno” de seu caleidociclo é um hexágono regular. Observe ainda que, nessa posição, você está vendo uma face de cada um dos seis tetraedros. Girando, reaparece o “buraco” estrelado, até que, novamente, ele desaparece. Nessa nova posição revelam-se outras seis faces dos tetraedros. Faça uma marca numa destas faces e gire o caleidociclo. Perceberá que ela reaparece depois de quatro giros.
Na posição em que o “buraco” desaparece, a metade das arestas de medida a, está contida num mesmo plano P. As arestas restantes, que têm esta medida, são perpendiculares a P. Nesta posição, podemos definir o contorno do caleidociclo como sendo sua intersecção com o plano P. Este contorno é um polígono regular convexo quando k = 3 ou k = 4 e um polígono regular estrelado quando k ³ 5. É no centro deste polígono que, nesta posição, coincidem alguns vértices dos tetraedros.
Fica óbvio nesse momento porque k deve ser maior do que 2. usando a lei dos cossenos no triângulo acima, temos:
Esta
expressão permite calcular a, em função de x, para
qualquer caleidociclo constituído de
Na tabela seguinte apresento os valores de a, b e a (em função de x), para k = 3, 4, 5, 6.
Num caleidociclo o número de faces triangulares é igual a 4x2k=8k. Como as arestas de medida a são comuns a dois tetraedros podemos pensar assim: juntando dois triângulos isósceles iguais pelas suas bases, obtemos um losango (onde uma diagonal é a; a outra é 2x).
Portanto a planificação da caleidociclo é constituída de 4k losangos de diagonais a e 2x. Os lados comuns destes losangos serão as outras arestas (diferentes de a) dos tetraedros. Na
construção do caleidociclo não esqueça de deixar as partes que receberão
cola. Outro detalhe prático: levando em conta a espessura da cartolina,
é aconselhável tomar a ligeiramente
Como escrevi no início deste artigo, os primeiros caleidociclos que vi, eram decorados com motivos do artista Maurits C. Escher. Se quiser enfeitar o seu, poderá pintar cada faixa de losangos com motivos e cores diferentes. Girando o caleidociclo, de cada vez aparecerá um desenho diferente.
Referência
NR: Os interessados poderão obter mais informações sobre os caleidociclos e os trabalhos de M. C. Escher na publicação: M.
C. Escher Kaleidocycles de Doris Schattschneider e Wallace Walker,
Ballantine Books, New York.
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