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Em
dezembro do ano passado, um amigo que é editor, pediu-me que o ajudasse
na solução de um problema. O custo de reimpressão de um livro depende
de dois fatores: papel e gráfica. O gasto com papel representa 60%
daquele custo e as despesas com gráfica os restantes 40%. Exemplificando:
se, na ocasião, a reimpressão de um livro custasse Cr$ 10.000, então Este
é um exemplo prático, simples e interessante, de aplicação do conceito
de média ponderada. Os pesos desta média são as porcentagens com que
cada uma das duas componentes, papel e gráfica, pesam no custo de
reimpressão do livro. Portanto, o aumento do preço do livro deve ser
calculado assim:
Certa vez, trabalhando numa escola particular de primeiro grau, uma das proprietárias apresentou-me o seguinte problema. Quando foi fundada, a escola tinha apenas as quatro primeiras séries do 1o. grau (primário). A sociedade fundadora era constituída por três professoras que haviam investido capitais iguais. O ginásio foi criado mais tarde, sendo que, participaram da sua fundação, além das três, uma quarta professora. As quatro investiram capitais iguais. O curso primário funcionava num prédio e o ginásio em outro, localizado nas proximidades do primeiro. Ambos os prédios eram alugados. As quatro sócias estavam pretendendo construir um prédio que abrigasse todo o primeiro grau. Para isso precisavam investir, em conjunto uma certa quantia. Qual a parte de cada uma, se elas pretendiam manter suas posições na sociedade? É claro que as sócias haviam percebido que as três mais antigas estavam em igualdade de condições, mas que a parte da outra devia ser diferente, e menor do que a delas. Para resolver o problema vamos indicar por P o valor do primeiro empreendimento, que é o curso primário, e por G o valor do segundo empreendimento, que é o curso ginasial. Portanto o valor total do empreendimento é P + G. As três sócias mais antigas são proprietárias, cada uma de:
Por exemplo: se após uma avaliação se constatasse que P = Cz$ 1.000.000,00 e G=Cz$800.000,00, então a parte da quarta sócia seria:
Em 1983, meu aluno Luiz Flávio Carvalho, que trabalhava no setor de vendas de uma fábrica de calçados, apresentou-me o seguinte problema: a empresa dava aos clientes um desconto de 10% para compras à vista; dava ainda mais 10% de desconto para compras acima de 2.000 e abaixo de 10.000 pares de sapatos ou 15% para compras acima de 10.000 pares. Sua dúvida era essa: se um cliente comprasse à vista, 12.000 pares, ele deveria dar primeiro 10% de desconto (pela compra à vista) e logo depois 15% (pela compra acima de 10.000 pares) ou poderia dar logo um desconto total de 25%. Foi desta maneira que ele me colocou o problema e por algumas perguntas que lhe fiz pude perceber que ele tinha a sensação de que não dava na mesma, mas não se sentia seguro quanto a isso. Convidei-o a analisar a situação. Seja C o valor da compra. Recebendo um desconto de 10% seu cliente pagaria 0,90 C pela mercadoria. Sobre esse valor, sendo dado agora um desconto de 15%, o valor a ser pago passaria a ser 0,85 x 0,90 C = 0,765 C. Isto significa que o cliente pagaria 76,5% do valor de C, e que equivale a um desconto único de 23,5%. Portanto, para seu cliente, era mais vantajoso um desconto de 25%! Restava saber, na hora da decisão, a quem beneficiar: a empresa ou o cliente? Situações deste tipo, envolvendo porcentagens, aparecem com freqüência. É comum as pessoas somarem porcentagens indevidamente. Na época da inflação acelerada, gastei muito tempo explicando para os alunos e outras pessoas, que a inflação do trimestre não era a soma das inflações de cada um dos três meses. Assim, por exemplo, se as inflações de janeiro, fevereiro e março fossem, respectivamente, de 12%, 11% e 14% a inflação acumulada do trimestre não seria de 12% + 11% + 14% = 37%. O
cálculo correto deve ser feito assim: se p é o preço de uma mercadoria
em fim de dezembro, então, em fim de janeiro ela custa: 1,12p. Em fim de
fevereiro: 1,11 x 1,12p e em fim de março: 1,14
x 1,11
x 1,12p
Isto significa um aumento aproximado de 42%.
Luiz Francisco Tonin, meu colega de trabalho e professor de Química, contou-me que, em setembro de 1985 ao comprar pneus novos para seu carro, precisou optar entre dois planos de pagamento: 1) 50% de desconto sobre o preço da tabela, para pagamento à vista, 2) 35% de desconto sobre o preço da tabela, para pagamento em 3 vezes. O vendedor lhe mostrou a vantagem do segundo plano. Pagando em 3 vezes você está pagando 15% a mais. Em 3 meses, isto dá 5% ao mês, o que, para a época, era de fato um juro baixíssimo. De imediato, meu colega percebeu que este raciocínio estava errado, na verdade, o pagamento em 3 vezes, correspondia a um financiamento em 2 meses e não três. Precisamos perceber que uma das parcelas é entrada. Então o juro mensal seria 7,5% e não 5%. Entretanto, este não é ainda o raciocínio correto. Usando sua calculadora financeira programável, o Tonin concluiu que o juro mensal, embutido na segunda proposta de pagamento era de cerca de 33%!! Vamos
raciocinar. Seja p o preço da tabela do pneu. No primeiro plano de
pagamento ele Após pagar a entrada ele fica devendo para a loja:
Se a taxa mensal de juros é j, então, após um mês sua dívida passa a ser:
Aí ele paga a primeira prestação e fica devendo:
Após outro mês esta dívida passa a ser:
Então ele paga a segunda prestação e quita a dívida:
Simplificando obtemos:
ou
seja
Resolvendo esta equação do segundo grau, na incógnita 1+j, e considerando apenas a raiz positiva obtemos: 1+j
donde
j
Para fazer justiça àquele comerciante, devo contar ainda que o Tonin me disse: na conversa com o dono da loja ele pôde perceber que o mesmo não tinha consciência disto tudo. A defesa que fazia do segundo plano de pagamento, era, até certo ponto, sincera. Achava até que, neste segundo plano, estava perdendo dinheiro, em face de uma inflação muito alta. Sem perceber, ao invés de perder, ganhava, e muito, com ela. É claro que este comentário não se generaliza para todos os especuladores.
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1,42p.
