Um colega de Belo Horizonte, MG, nos escreve dizendo que o seguinte problema (do vestibular da UFMG-86) vem lhe perturbando a paciência e pede que a RPM o “destrinche”.

Seja f uma função periódica, de período 2 tal que f(x) = x² para – 1 x 1. Achar uma expressão para f no intervalo 85 x 87.

RPM: A figura ao lado mostra o gráfico de f no intervalo [1, 1]. Por causa da periodicidade 2, o gráfico de f pode ser obtido, repetindo o gráfico ao lado, em cada intervalo de amplitude 2, entre dois números ímpares consecutivos.

Vemos que f(85) = f(87) = 1 e f(86) = 0.

Para achar a expressão de f(x) para x no intervalo [85, 87] basta observar que f(x) = f(x – 86) e para x neste intervalo – 1 x – 86 1.

Teremos então, para x [85, 87], f(x) = (x   –  86)².

O que se podia no vestibular era a expressão acima. Entretanto, coloca-se a questão: é possível achar uma expressão para f(x), sendo x um número real qualquer?

A resposta é sim:

Todo número real x está entre dois inteiros ímpares consecutivos, isto é para todo x R, existe um único k Z tal que 2k – 1 x <2k + 1. Parte do problema consiste em, dado x, achar k.

1^o. caso: 2k – 1 x <2k

Neste caso [x] = 2k – 1, onde [x] designa o maior inteiro menor do que ou igual a x.

2^o. caso: 2 k x <2k + 1

Neste caso [x] = 2k [x] + 1 = 2k + 1

Agora, se 2k – 1 x < 2k + 1, f(x) = f(x - 2k) = (x - 2k)²

Um médico de Lavras, MG, nos pede uma solução detalhada do seguinte problema, publicado no n° 126, de maio de 1984, da revista “A Recreativa”:

...Antigone, que não terá mais filhos, tem atualmente uma certa idade e, atualmente a jovem Brangânia tem o número de anos que tinha Antígone quando Brangânia tinha a idade que tinha Antígone no momento que Brangânia tinha um número  de anos que, acrescido à idade atual de Antígone, dá o número de anos que esta terá quando Brangânia tiver exatamente a idade que tinha Antígone quando Brangânia tinha a idade que tinha Antígone quando Brangânia tinha um número de anos que, multiplicando por cinco, dá o número de anos que terá Antígone quando Brangânia tiver exatamente o número de anos que Antígone terá no ano que vem.  Qual é a diferença de idade entre Antígone e Brangânia?

RPM: Este é, pela sua aparência, um dos “terríveis” problemas sobre idades. No entanto, se resolvido do fim para o começo, deixa de ser tão terrível. Dividamos o enunciado em trechos numerados.

Cada trecho contém uma informação que será colocada em um quadro: ¹⁵(Antígone, que não terá mais filhos), tem atualmente uma certa idade e, atualmente a ¹⁴(jovem Brangânia tem) ¹³(o número de anos que tinha Antígone) ¹²(quando Brangânia tinha)¹¹(a idade que tinha Antígone) ¹⁰(no momento que Brangânia tinha um número^(p) de anos que, acrescido à idade atual de Antígone), dá ⁹(o número de anos que esta terá) ⁸(quando Brangânia tiver exatamente) ⁷(a idade que tinha Antígone) ⁶(quando Brangânia tinha) ⁵(a idade que tinha Antígone) ⁴(quando Brangânia tinha um número (m) de anos que, multiplicado por cinco), dá ³(o número de anos que terá Antígone quando) ²(Brangânia tiver exatamente) ¹(o número de anos que Antígone terá no ano que vem). Qual é a diferença de idade entre Antígone e Brangânia?

Seja a a idade atual de Antígone, b a de Brangânia e x = a – b, a diferença das idades.
 

Como b = a – x, de (C) virá p = a – 3x que substituído em (B) dará 2a – 3x = m + 3x ou m = 2a – 6x.

As idades a e b são número inteiros, e a será inteiro pra x = 2, 11, 20, 29, ..., 2 + 9k, ...

Para x = 2, a = 7, o que contradiz a sentença 15

        x = 11, a = 38, também contradiz 15

        x = 20, a = 69 é uma resposta possível

        x = 29, a = 100, ainda é uma resposta possível.

Também um colega de Fortaleza, CE, escreveu dizendo que gostaria de conhecer uma resolução simples do seguinte problema:

“Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens; quando tiveres a idade que eu tenho, a soma de nossas idades será 90. Qual é a minha idade?”

RPM: Tendo resolvido o problema anterior, mais difícil, deixaremos este para que o leitor interessado tente resolvê-lo.

Um colega de Brasília, DF pede ajuda da RPM para encontrar as raízes da equação

x⁶ – 3x³ + 2x = 0

RPM: É fácil ver que 0 e 1 são raízes da equação dada. Veremos que a equação tem mais duas raízes reais, aproximadamente iguais a 1,120 e –0,7621.

Vamos efetuar uma mudança de variável: t = x³.

A equação fica: t² – 3t =                (1)

Como a função dada por t = x³, de R em R, é bijetora (e respeita a ordem das variáveis) a cada solução de (1) corresponderá uma solução da equação dada e, reciprocamente.

Passemos então a procurar as raízes reais de 3t – t² = ou seja, os pontos de interseção dos gráficos de g(t) = 3t – t² e h(t) = .

As funções g e h são contínuas. Um fato importante em relação às funções contínuas é que, se nos extremos t₁ e t₂ de um intervalo os gráficos de g e h mudam as posições relativas “abaixo” e “acima” então os gráficos se cruzam em pelo menos um ponto do intervalo [t₁, t₂]. Isto é, se tivermos g(t₁) < h(t₁) e g(t₂) > h(t₂), então existe t [t₁, t₂] tal que g(t) = h(t). Os gráficos mostram que os possíveis cruzamentos se dão para t [-1; 1,5]. Façamos uma tabela.

A tabela mostra que existem duas raízes ainda não conhecidas: uma entre –0,6 e –0,4 e a outra entre 1,4 e 1,5.

Novas tabelas para t [-0,6; -0,4] e t [1,4; 1,5] mostrarão que uma raiz de (1) está entre –0,4428 e –0,4427 e a outra entre 1,405 e 1,406.

As correspondentes raízes reais da equação dada estão entre –0,7622 e –0,7622 e entre 1,1200 e 1,1202.

Neste contexto, a verificação de que são só estes os pontos de encontro entre os dois gráficos, exige também uma análise dos sinais das derivadas.

Respostas dos Probleminhas (pág. 49)

1) x = AMO-TE 2) Pedro; ele percorre, correndo, mais do que a metade da distância.   3)