Seiji Hariki   Soluções e sugestões devem ser enviadas para: RPM - Problemas caixa postal 20570 01498 - São Paulo - SP.   Desde o lançamento da RPM, os leitores se acostumaram a ver o nome difícil ZOÁRD A(ntal) L(àszló) GEOCZE encabeçando a sessão “PROBLEMAS”. E, até a RPM-7, o professor Zoárd propôs, e os leitores resolveram, 38 problemas, muitos dos quais significativos e antes não encontrados em publicações brasileiras. Alguns desses problemas, pela sua qualidade, deixavam transparecer a sua origem húngara, bem como a do professor Zoárd que os selecionava e depois redigia as melhores soluções enviadas por leitores. Problemas de saúde obrigaram o professor Zoárd a diminuir as suas atividades e, assim, a RPM deixa de contar com um de seus mais atuantes colaboradores. A RPM registra aqui os seus agradecimentos e votos para uma rápida recuperação. Agradece também o apoio sempre presente da Universidade Federal de Viçosa.        Problemas   39.  São dados: um quadrado de lado a e um triângulo eqüilátero de lado a, como na figura. Calcule a área da região hachurada. (Enviado por Ernesto Rosa Neto, juntamente com 4 soluções distintas) 40.  2n pessoas foram ao cinema. A metade carrega uma nota de Cz$ 5,00, a outra metade carrega uma nota de Cz$ 10,00. O ingresso custa Cz$ 5,00 e, inicialmente, o caixa está absolutamente sem troco. De quantas maneiras distintas estas pessoas podem se enfileirar de modo que a fila possa ser atendida sem transtorno? 41.   Quais são as possíveis sombras de um cubo? 42.   Em quantas partes o plano é dividido por n circunferência, se duas quaisquer se interceptam? 43.   Prove que todo triângulo com duas bissetrizes iguais é isósceles.        ...e Probleminhas   1)   Peça a alguém, muito especial, que resolva esta equação:   (enviado por Marco Aurélio de Melo Andrade, Conselheiro Lafaiete, MG). 2)   Pedro e Paulo apostam uma corrida: Pedro corre a metade do tempo e anda a outra metade. Paulo corre a metade da distância e anda a outra metade. Se ambos correm e andam, respectivamente, com as mesmas velocidades, quem chegará primeiro?   3)   Um ponto P está no interior de um triângulo eqüilátero. Demonstre que a soma dos comprimentos dos 3 segmentos com origem em P e  perpendiculares aos lados do triângulo é igual à altura do triângulo. (enviado por Lucien J. F. Thys, Porto Alegre, RS).     4)    Qual é a média aritmética do primeiro milhão de números ímpares? (Ver respostas na seção "O leitor pergunta")        Solução dos Problemas Propostos na RPM n° 7, 2o. Semestre de 1985 33.    Prove que se x1, x2, x3, x4, x5 são positivos, então (x1 + x2 + x3 + x4 + x5)2  4(x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 + x5x1).   Solução Podemos supor, sem perda de generalidade, que x1  x2  x3  x4  x5  0. É claro que (x1 – x2 + x3 – x4 + x5)2 + 4x1 (x4 – x5) + 4x2x5 > 0. Desenvolvendo, temos: (x12 + x22 + x32 + x42 + x52) + 2(x1x3 + x1x4 + x2x4 + x2x5 + x3x5) - - 2(x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 + x5x1)  0. (x12 + x22 + x32 + x42 + x52) + 2(x1x3 + x1x4 + x2x4 + x2x5 + x3x5) + 2 (x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 + x5x1)  4(x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 + x5x1) (x1 + x2 + x3 + x4 + x5)2   4(x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 + x5x1). (Solução enviada por Sun Hsien Ming. São Paulo SP.) não possui soluções reais.   Solução: Se x > 1, temos x3 + x2 > 2 contrariando a 1a. equação. Se x < 1, x3 + x2 = x2 (x + 1) < 2 e portanto não nos interessa. Logo, se (x, y) é solução real do sistema, temos x = 1 e a 2a. equação fica 1 + y2 = 0, que não admite solução real.   (Solução enviada por Trajano P. Nóbrega Neto, São José do Rio Preto – SP.)   37.    Construímos o círculo circunscrito ao triângulo retângulo pitagórico 3, 4, 5. Determine o raio do círculo tangente aos catetos e tangente (internamente) ao círculo circunscrito.   Solução: Considere o ABC, onde AC = 3, AB = 4 e BC=5. O círculo circunscrito a este triângulo tem centro O e o raio OB = 2,5. O círculo pedido tem centro O’ e raio r. Sejam D (em AB) e E (em AC) os pontos de tangência. O quadrilátero O’DAE é um quadrado de lado r. Por O tracemos OM çê AC (M em AB) e ON II AB (N em AC). Seja P a intersecção de ON e O’D. Temos:   Seja Q o ponto de tangência dos dois círculos: OO’ = OQ – O’Q = 2,5 – r. O teorema de Pitágoras aplicado ao OO’P nos dá: (2,5 – r)2 = (r – 1,5)2 + (2 – r)2, de onde vem  r2 – 2r = 0.   Como r 0, temos r = 2. Logo, o raio pedido é r = 2, donde se conclui que OP = DM = 2 – r = 0. Portanto M, O, O’ e Q estão alinhados conforme a figura acima. (Solução enviada por Tsunehiro Takahashi – SP.)   38.  Queremos medir o peso de uma barra homogênea de seção retangular. Possuímos um peso de 100 g, uma régua graduada, lápis e papel. Como devemos efetuar a medida sem destruir a barra?   Solução Supondo que a régua mede M cm e que a situação de equilíbrio seja como na figura, então, temos que a massa m da barra é dada por (Solução enviada por Sérgio Dalmas, Santos – SP.) NOTA:  Não recebemos nenhuma solução dos leitores dos problemas 34 e 35. Portanto, esses problemas permanecem propostos.