O objetivo desta nota é apresentar um processo prático para efetuar uma divisão inexata no caso em que o dividendo é negativo.

Dizemos que o inteiro x é divisível pelo inteiro y se, e só se, existir inteiro z tal que x = y.z. O processo para obter tal z (o algoritmo da divisão) é por demais conhecido para ser aqui examinado.

No caso em que, dados os inteiros x e y, não exista inteiro z tal que x = y . z, então demonstra-se que existem inteiros q e r (0 r < |x|), com x = q . y + r. Os inteiros q e r dizem-se, respectivamente, quociente e resto da divisão de x por y; x é o dividendo e y é o divisor. Demonstrações da existência e unicidade do quociente e resto são encontráveis em muitos textos (ver, p. ex. [1]) e já eram conhecidas de Euclides no século III antes de Cristo.

Aqui cabe uma pergunta: Por que o resto deve ser positivo? A resposta é simples: Quando se divide x por y, o que se procura é o maior múltiplo de y que é menor do que x, de modo que se x = q . y + r, então r = x – q . y é positivo porque x . y é menor do que x. Mas, não poderíamos definir divisão de modo que o resto fosse negativo? Neste caso q . y seria o menor múltiplo de y maior do que x, e teríamos situações como a do seguinte exemplo: para dividir 10 laranjas entre 3 pessoas, cada uma delas receberia 4 laranjas e haveria um resto de – 2 laranjas. O exemplo mostra que esta maneira de se fazer a divisão não teria valor prático algum.

Mas, se para a divisão com dividendo e divisor positivos existe o algoritmo da divisão ao dispor, o mesmo não acontece quando, por exemplo, o dividendo é negativo e o divisor é positivo. Uma situação destas aparece quando se pede o seno de – 1860º . Como sen (2n + ), com n inteiro, é igual a senj, basta dividir – 1860 por 360, e tem-se sen ( – 1860º) = sen 300º , porque 300 é o resto da divisão de – 1860 por 360. Mas, como é que foi encontrado este resto 300?

O algoritmo da divisão pode ser adaptado a este caso da seguinte maneira: seja dividir o inteiro a < 0 pelo inteiro b > 0. Para tal calcula-se o quociente q e o resto r,  da divisão de – a + b por b. Então, o quociente e o resto desejados são, respectivamente, –  q e b – r. A justificativa decorre do fato de que

–  a + b = q  . b + r  se, e só se, a = - q . b + (b – r)

Por exemplo, para dividir – 43 por 3, divide-se 46 = 43 + 3 por 3. O quociente e o resto da divisão de 46 por 3 são: q = 15 e r = 1.

Então, –  43 = (– 15).3 + (3 – 1).

Também, como a = b.q + r é equivalente a – a =  –  b(q + 1) + (b – r), podemos proceder como segue: para dividir o inteiro a < 0 pelo inteiro b > 0, calcula-se o quociente q e o resto r da divisão de – a por b. O quociente e o resto desejados são, respectivamente,
–  (q + 1) e b – r.

Por exemplo, para dividir – 103 por 4, divide-se 103 por 4. Temos 103 = 4.25 + 3. Então,
–  103 = 4. (– 26) + (4 – 3).

Referência

[1] Polcino & Coelho – Números. Uma Introdução à Matemática. São Paulo, 1980.