RPM 08 - Razões proporções e regra de três

Em nosso artigo anterior (RPM 7) mostramos como Eudoxo, na antiguidade, descobriu um modo muito engenhoso para resolver a primeira crise de fundamentos a ocorrer na História da Matemática. No presente artigo faremos alguns comentários de natureza pedagógica sobre um tópico do programa da 6ª série do primeiro grau – razões e proporções – cuja apresentação não se modernizou, pois ainda guarda resquícios da maneira antiga de se entender o que é uma razão e de se exprimir a igualdade de duas razões. Tanto assim que ainda se usam as palavras “antecedente” e “conseqüente” em lugar de “numerador” e “denominador” respectivamente; e às vezes ainda se escreve A : B = C : D ou A : B :: C : D e se fala “A está para B assim como C está para D”. Quando aprendi essas coisas pela primeira vez fiquei bastante confuso, pois não entendia o porquê da nova terminologia e da nova maneira de se exprimir o que me parecia ser uma simples igualdade de frações. Só muito mais tarde é que pude compreender que a estranha apresentação tinha origem no rigor grego de não admitir os números irracionais e na engenhosa teoria que Eudoxo inventara para contornar a crise dos incomensuráveis (veja nossos artigos anteriores: RPM 5, pág. 6 e RPM 7, pág. 5).

As idéias de Eudoxo permitiram vencer a barreira dos incomensuráveis sem a necessidade dos números irracionais. Como dissemos na RPM 7, a partir de então a Geometria ganha proeminência na Matemática Grega e assim permanece até muito recentemente. Não obstante isto, já partir do século XIII a “matemática dos números” começa a ser estudada e admirada na Europa Ocidental, principalmente devido ao Líber Abaci que Leonardo de Pisa publicou em 1202 (RPM 6, pág. 12). Desde então nossos ancestrais vêm aprendendo a lidar com os algarismos arábicos, com as regras de cálculo com frações, com radicais e decimais, com equações algébricas, etc. É importante notar que esse desenvolvimento da Aritmética e da Álgebra ocorreu sob forte influência da tradição grega, ainda visível nos textos elementares usados nas escolas e que por compilações sucessivas perpetuam costumes antigos. Isto também explica, em grande parte, a falta de unidade que muitas vezes se nota entre diferentes assuntos tratados nos livros-textos. Os tópicos “razões e proporções” e “regra de três” são um exemplo típico do que vimos dizendo, como há de ficar claro até o final deste artigo.

A importância, para os fundamentos da Matemática, da teoria das proporções de Eudoxo, havia de durar até o século passado, quando seria substituída – e com vantagem – pelas teorias dos números reais então criadas por vários matemáticos, dentre eles Dedekind (veja nosso artigo anterior na RPM 7). Estas teorias legitimaram os números irracionais, que já vinham sendo usados, como dissemos, desde o século XIII. Como se vê, a Aritmética e a Álgebra vinham se desenvolvendo há séculos, porém sem bases seguras, de forma que a Geometria continuava sendo o modelo do rigor mais acabado. Não é outra a razão por que a teoria das proporções permaneceu firme no ensino, ao lado da Aritmética e da Álgebra, ou mesmo permaneceu firme no ensino, estes domínios. Mas com a fundamentação dos números reais, no século passado, em bases sólidas e mais confiáveis do que as da antiga Geometria, a teoria das proporções de Eudoxo passa a te apenas valor histórico.

Observemos que já admitimos os números irracionais desde o primeiro grau, quando ensinamos operações com radicais e lidamos com o número

3,1416, que também é irracional.*[ Dispomos assim dos números reais (racionais e irracionais), logo podemos medir todas as grandezas e, em conseqüência podemos sempre definir a razão de duas delas como o quociente de suas medidas. E não precisamos mais usar a superada teoria geométrica das proporções, muitos menos os resquícios que dela ficaram na terminologia, na notação e, sobretudo, na maneira de apresentar fatos, como os problemas de “regra de três”. Estes podem ser ensinados no contexto algébrico de resolução de equações, com a dupla vantagem da simplificação e da unificação do ensino da Matemática. Seria até mais próprio que falássemos em variáveis proporcionais ao invés de grandezas proporcionais. Para ilustrar tudo isso começamos definindo proporcionalidade direta e inversa.

Definição 1. Diz-se que duas variáveis (ou grandezas) x e y são proporcionais – mais especificamente, diretamente proporcionais – se estiverem assim relacionadas: y = kx ou y / x = k, onde k é uma constante positiva, chamada constante de proporcionalidade.

Definição 2. Diz-se que as variáveis x e y são inversamente proporcionais se y = k / x ou xy = k, onde k é uma constante positiva (constante de proporcionalidade).

Por exemplo, se p é o perímetro de um quadrado de lado l, então p = 4l, de sorte que o perímetro e o lado são diretamente proporcionais. Imaginemos, como segundo exemplo, um retângulo de lados variáveis e área constante. Se x e y são os lados e a área é, digamos, 12m², então xy = 12 ou y = 12/x, o que mostra serem x e y inversamente proporcionais.

Quando y = kx costuma-se também dizer que y é diretamente proporcional a x. Neste caso, é claro que podemos escrever x = cy, onde c é a constante 1/k, e dizer que x é diretamente proporcional a y. Uma observação análoga vale no caso em que x e y são inversamente proporcionais: y é inversamente proporcional a x e x é inversamente proporcional a y.

Às vezes temos mais de duas variáveis envolvidas num determinado problema ou situação que estamos considerando. Exemplo disto ocorre no caso de uma certa quantidade de gás num recipiente fechado, um cilindro, por exemplo. Então, por uma lei física conhecida como “lei de Boyle e Mariotte”, a pressão P do gás, seu volume V e temperatura T (medida em graus Kelvin = 273 + graus centígrados) satisfazem a seguinte relação:

onde k é constante. Esta é a chamada equação dos gases perfeitos. Ora, se mantivermos constante a pressão do gás, deixando que variem a temperatura e o volume, é claro que estas duas variáveis T e V serão diretamente proporcionais, pois teremos T = cV, onde c é a constante P/k. Analogamente, mantendo constante a temperatura, P e V resultam ser variáveis inversamente proporcionais, pois PV = K onde K é a constante kT.

Isto mostra claramente que, com a pressão constante, V é diretamente proporcional a T; enquanto que, mantendo-se a temperatura constante, V resulta ser inversamente proporcional a P. Os exemplos e as várias considerações feitas acima sugerem a definição que daremos a seguir, mais geral que as duas anteriores e que abrange estas duas.

Definição 3. Se várias variáveis, digamos, x, y, z, w, r, s estão relacionadas por uma equação do tipo

onde k é constante, então dizemos que z é diretamente proporcional a x, a y e a w; e inversamente proporcional a r e a s.

Como já dissemos, esta definição contém as duas anteriores. De fato, quando dizemos, por exemplo, que z é diretamente proporcional a x, estamos imaginando todas as demais variáveis mantidas fixas; logo, z = cx, onde c é uma constante, e isto nos conduz à situação considerada na Def. 1. Analogamente, quando dizemos que z é inversamente proporcional a r, por exemplo, imaginamos fixadas as demais variáveis, de sorte que z = C/r, onde C é constante; e isto corresponde à situação considerada na Def. 2.

Vamos agora à parte prática, considerando os mesmos problemas tratados no artigo do Professores Imenes e Jakubovic na RPM 2 – pág. 2.

Problema 1. Uma pessoa, datilografando 60 toques por minuto e trabalhando 6 horas por dia, realiza certo trabalho em 10 dias. Quantos dias x levará outra pessoa para fazer o mesmo trabalho se ela datilografa 50 toques por minuto e trabalha 4 horas por dia?

Temos aqui duas pessoas, A e B e três variáveis: toques por minuto T, horas de trabalho por dia H e dias de trabalho D. Esquematicamente,

Pessoa	T	H	D
A	60	6	10
B	50	4	x

Seja k o número de toques necessários para realizar o trabalho. Uma pessoa que faz T toque por minuto fará 60T toques por hora e, trabalhando H horas por dia, durante D dias, fará 60THD toques ao todo. Portanto,

Esta equação nos diz, segundo a Def. 3, que qualquer das grandezas H, T e D é inversamente proporcional às outras duas. Substituindo em (1) as duas seqüências de valores dados no problema, obtemos

Problema 2. Se 10 máquinas, funcionando 6 horas por dia, durante 60 dias, produzem 90 000 peças, em quantos dias x, 12 dessas mesmas máquinas, funcionando 8 horas por dia, produzirão 192 000 peças?

Esta equação nos diz que a variável P é diretamente proporcional a M, H e D. Substituindo nesta equação as duas seqüências de valores dados no problema, obtemos

Os dois problemas anteriores são o suficiente para ilustrar a simplicidade da regra de três no contexto algébrico. Afinal, eles versam sobre a chamada regra de três composta, considerada mais complexa que a regra de três simples, direta e inversa. Essa simplicidade se deve à utilização do simbolismo e do cálculo algébrico; mas acima de tudo, ela se deve à maneira de se exprimir a dependência entre as variáveis envolvidas no problema, como em (1) e (2). Este é o ponto mais importante de nossas observações. Uma vez conhecida a equação de dependência entre as várias variáveis, a solução do problema se reduz a um cálculo algébrico relativamente simples.

Tem sido prática corrente ensinar o aluno a descobrir a equação de dependência entre as variáveis envolvidas no problema a resolver com o auxílio da seguinte regra:

fixadas as variáveis envolvidas no problema, exceto duas delas, estas são diretamente proporcionais se aumentam ou diminuem simultaneamente, e inversamente proporcionais se uma aumenta enquanto a outra diminui.

Esta regra não tem justificativa lógica e nem sempre produz resultados corretos. É verdade que duas variáveis diretamente proporcionais aumentam ou diminuem simultaneamente, mas duas variáveis podem aumentar ou diminuir simultaneamente sem que sejam diretamente proporcionais; e uma observação inteiramente análoga vale no caso de variáveis inversamente proporcionais. O problema seguinte é um exemplo concreto do que estamos dizendo.

Problema 3. Um trabalhador gasta 5 horas para limpar um terreno circular de 7 metros de raio. Quanto tempo gastaria se o terreno tivesse 14 metros de raio?

As variáveis aqui envolvidas são o raio r do terreno e o tempo t que o trabalhador gasta para limpá-lo. Uma simples aplicação da regra acima nos levaria a dizer que r e t são diretamente proporcionais. Em conseqüência, o trabalhador gastaria o dobro do tempo (10 horas) para limpar o terreno de 14 metros de raio.

Mas isto é falso! O certo é que t é proporcional à área do terreno, portanto proporcional a r², isto é, t = Cr², onde C é uma constante. Então, sendo t₀ o tempo gasto para limpar o terreno maior, teremos:

Isto mostra que o trabalhador gastará com o terreno maior 4 vezes o tempo que gasta com o terreno menor, e não duas vezes.

Devemos observar que a regra acima só é correta quando já sabemos, de antemão, que as variáveis do problema são, duas a duas, direta ou inversamente proporcionais, quando as outras são mantidas fixas. Portanto, ao propor esses problemas a seus alunos, o professor deve esclarecer que as variáveis consideradas são desse tipo e, evidentemente, deve restringir suas considerações a problemas que envolvem somente variáveis desse tipo. Ou então – e melhor ainda – deve o professor esclarecer suficientemente seus alunos para que eles saibam encontrar as corretas relações de proporcionalidade (como no problema anterior) se elas já não são dadas por uma lei conhecida; e deve evitar a utilização de regras imprecisas. Vamos ilustrar isto com um problema tirado de um livro de uso corrente no primeiro grau.

Problema 4. Um automóvel com velocidade média de 60 km/h gasta 5 horas para percorrer a distância entre duas cidades. Qual será o tempo gasto para percorrer a mesma distância com velocidade média de 100 km/h?

Geralmente, um problema como este costuma ser resolvida com o auxílio da regra acima para descobrir se as variáveis velocidade e tempo são direta ou inversamente proporcionais. Isto é um lamentável erro pedagógico que não estimula o aluno a bem pensar. O problema oferece excelente oportunidade para explicar a equação horária do movimento uniforme que resulta da definição de velocidade média v como o quociente do espaço s percorrido pelo tempo t gasto em percorre-lo, isto é,

Como s é constante no problema considerado (distância entre as duas cidades), vemos que v e t são inversamente proporcionais. Substituindo os dados em (3), obtemos

Outra observação que devemos fazer aqui refere-se à chamada “propriedade fundamental das proporções”, segundo a qual o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Seu ensino não deve deixar no aluno a impressão de ser uma propriedade exclusiva de “razões e proporções”, quando na verdade é uma propriedade das igualdades, que deve ser tratada no estudo das equações. Aliás, o aluno deve começar a aprender essa propriedade desde o estudo das frações ordinárias, quando lhe é ensinado o significado da igualdade de frações (veja as definições 1 e 2 em nosso último artigo na RPM 7).

onde a, b, c e d são números reais, não necessariamente inteiros (b e d não nulos), é no estudo das equações, à luz da definição do quociente e das propriedades dos números reais. De fato, temos

Como o quociente de a por b é o número a/b que multiplicado por b produz a, temos

de forma que (5) é o mesmo que ad = cb ou ainda, ad = bc. Isto completa a demonstração de (4).

Esta demonstração é um exemplo típico de utilização das propriedades associativa e comutativa da multiplicação e da definição de quociente. Embora relevante para o professor – razão pela qual a reproduzimos aqui – dificilmente será apreciada por alunos do primeiro grau, que poderão chegar ao mesmo resultado pulando etapas, assim:

A mesma observação que fazemos com relação à propriedade (4) é valida para as outras propriedades das proporções, como

E para se ensinar tais propriedades não é necessário introduzir terminologia nova, que só pode atrapalhar e confundir o aluno.

Na teoria de Eudoxo uma razão não é o quociente de dois números e uma proporção não é uma igualdade de duas razoes. Foi por isso que surgiram as palavras “antecedentes” e “conseqüente”, a notação

Tudo isso está superando há pelo menos um século. Numa autêntica modernização do ensino não há por que ensinar essas coisas, enfatizar “razões e proporções” como teoria autônoma, ou falar em “terceira proporcional” e “quarta proporcional”. O essencial sobre razões, proporções e regra de três pode muito bem ser ensinado no estudo dos números reais, das igualdades e equações, como ilustramos nas seções anteriores. Pode-se então definir razão e proporção e estabelecer propriedades importantes como (4) e (6). A ênfase deve ser na proporcionalidade segundo as Defs. 1, 2 e 3, e em problemas de interesse atual, em vez dos mesmos problemas que se perpetuam nos textos com tratamento bastante arcaico. O tema é importante e requer considerações adicionais, e a ele voltaremos futuramente.

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*Uma demonstração deste fato se encontra na pág. 16 e seguintes do livro do Prof. D. G. Figueiredo, “Números Irracionais e Transcendentes”, publicado pela SBM.