Marcela Melo Amorim
PUC-Rio e IBMEC-RJ
Aluna PROFMAT – UNIRIO

Introdução

No ensino médio ou nos primeiros períodos da graduação, durante aulas de probabilidade, há um grande desconforto dos estudantes com respeito a esse tema, que exige organização de raciocínio e interpretação de problemas.

Queremos aqui compartilhar com os colegas de profissão uma experiência simples que vem apresentando bons resultados com os estudantes do primeiro período de Economia e Administração do IBMEC-RJ: a montagem de tabelas em problemas que envolvam a relação entre duas variáveis.

Geralmente os estudantes têm facilidade para interpretar tabelas prontas. Contudo eles raramente têm iniciativa de organizar os dados dessa maneira e, quando o fazem, costumam ter dificuldade em encontrar uma forma eficiente. Mas, quando realizam a tarefa corretamente, percebem que ali se encontram todos os dados necessários de forma organizada, o que torna mais fácil responder a muitas perguntas sobre eles.

Os exemplos apresentados a seguir mostram como a solução por meio de uma tabela pode evitar o uso de fórmulas e ilustram bem o conceito de probabilidade condicional.

A montagem da tabela

Na RPM 27, p. 25 e 26, o professor Raul F. W. Agostinho apresentou o seguinte problema:

Num país, 10% da população é portadora de um vírus. Um teste para detectar a presença ou não do vírus dá 90% de acertos quando aplicado a portadores e dá 80% de acertos quando aplicado a não portadores. Qual o percentual de pessoas realmente portadoras do vírus, dentre aquelas que o teste classificou como portadoras?

No artigo, o professor apresentava uma bela solução sem citar teoremas de probabilidade. Apresentamos aqui uma solução usando tabelas.

A seguir, algumas questões a serem apresentadas aos estudantes na hora de resolver o problema. “Quantas e quais são as variáveis do problema? Quais são as opções de resposta para cada uma delas?” Esperamos que a maioria dos alunos, nesse momento, responda que uma variável é a situação do indivíduo em relação ao vírus (portador ou não) e a outra variável é o resultado do teste (positivo ou negativo). Vale a pena deixar claro que os indivíduos podem ser classificados segundo dois critérios: SER PORTADOR e RESULTADO DO TESTE, para não correr o risco de que façam uma escolha inadequada, como, por exemplo, o teste acertou ou errou em seu resultado.

Para a montagem da tabela, utiliza-se uma das variáveis (perguntas) na horizontal e a outra na vertical. Na frase “10% da população é portadora de um vírus”, o problema nos dá diretamente o total percentual de portadores e indiretamente o de não portadores (1 – 0,1 = 0,9). Mais adiante, o problema oferece os dados que faltam, primeiramente no trecho: “Um teste ... dá 90% de acertos quando aplicado a portadores” significa que 90% de 0,1 (= 0,09) são portadores com teste positivo e, mais adiante, na mesma frase: “dá 80% de acertos quando aplicado a não portadores” afirma que 80% de 0,9 (= 0,72) são não portadores com teste negativo. Organizando esses valores numa tabela, temos:

Após a montagem da tabela, é aconselhável que os alunos interpretem cada um dos valores antes de responder às questões. Como, por exemplo, o número 0,18 representa a proporção esperada de indivíduos não portadores cujo teste deu resultado positivo.

De volta à pergunta do enunciado, observamos que a frase “dentre aquelas que o teste classificou como portadoras” faz com que o problema se reduza à 1 coluna, referente ao teste positivo, o que significa reduzir o espaço amostral ao conjunto dos positivos, como exigido para o cálculo da probabilidade condicional. Logo, a resposta para a pergunta “Qual o percentual de pessoas realmente portadoras do vírus” é 0,09/0,27 = 33,3%. Esse resultado é interessante, pois indica que 2 em cada 3 pessoas cujo o teste deu resultado positivo podem não estar contaminadas.

Dando maior importância ao conceito que às fórmulas, o uso da tabela pode ser esclarecedor. Percebemos que os alunos que utilizam esse instrumento de resolução obtêm um maior índice de acerto do problema e uma melhor compreensão do significado do conceito de probabilidade condicional.

Trabalhando outros temas de Probabilidade

Muitos conceitos e teoremas de probabilidade podem ser explorados usando dados tabelados.

Imagine uma nova situação. Outro teste, com eficácia de praticamente 100%, foi utilizado nos mesmos indivíduos. Dentre as pessoas que tiveram resultados opostos nos dois testes, qual é a probabilidade de uma pessoa ser considerada portadora pelo 2 teste (ou seja, o indivíduo seja portador, dado que o 1 teste errou no seu diagnóstico)?

Esse é um problema de probabilidade condicional que resolveremos de duas maneiras. A solução clássica, utilizando a fórmula do Teorema de Bayes:

sendo A o evento de obter resultados opostos nos dois testes; C1 o evento de um indivíduo não portador ter tido resultado positivo no 1 teste; C2 o evento de um indivíduo portador ter tido resultado negativo no 1 teste.

P(C2/A) = =

= = 0,0562.

Em vez de utilizarmos a resolução anterior, podemos resolver o problema apenas reduzindo o espaço amostral para os indivíduos cujo 1 teste deu um resultado errôneo:

A probabilidade é então calculada como a razão entre os indivíduos portadores cujo 1 teste deu resultado negativo (0,01) e a soma dos indivíduos que tiveram resultados errados no 1 teste (0,18 + 0,01), que resulta em 5,26%.

Montada a tabela, fica simples responder a outras questões, por exemplo:

Qual a probabilidade de um indivíduo ser portador ou obter
resultado positivo no teste?

A probabilidade de ser portador ou obter resultado positivo no teste pode ser calculada como resultado da soma das parcelas 0,09 + 0,01 + 0,18 = 0,28; de outra forma, poderíamos somar 0,27 (positivo no teste) com 0,10 (ser portador) e retirar 0,09 (a interseção).

Qual a probabilidade de um indivíduo não ser portador e obter
resultado teste negativo?

Para satisfazer as duas condições simultaneamente, identificamos a interseção da linha do não portador com a coluna do resultado negativo no teste, ou seja, a probabilidade é 0,72.